Problemes matemàtics fàcils d'entendre però difícils de resoldre

Josu Doncel Vicente

INRIA laboragegiko ikertzailea

Per a molts, els problemes que estudien els matemàtics són molt difícils. No obstant això, hi ha problemes que expliquen coses molt senzilles però que tenen una resolució molt difícil. En aquest article veurem alguns exemples d'aquesta mena de problemes.
ulertzeko-errazak-baina-ebazteko-zailak-diren-mate 400

Els matemàtics investiguen problemes d'enginyeria, biologia, etc. I és que gràcies a demostracions basades en les matemàtiques, podem entendre el comportament dels fenòmens que es produeixen en el món i en la naturalesa.

A vegades, els problemes que s'estudien en matemàtiques estan composts per equacions gegants, per la qual cosa molta gent creu que són molt difícils de resoldre. Altres problemes són molt fàcils d'entendre (en molts casos poden aparèixer en una línia), però els matemàtics han passat anys buscant la seva demostració. Per tant, podem dir que són molt difícils de resoldre. En aquest article parlarem sobre problemes matemàtics fàcilment explicables (i fins i tot comprensibles) però difícils de demostrar.

Deixeu que expliqui què és resoldre un problema matemàtic. Suposem que volem resoldre el problema denominat X. Com es fa? Per a demostrar que X és falsa n'hi ha prou amb trobar un exemple. Per exemple, considerem el problema: ''tots els números són normals''. Per a demostrar que això és fals cal donar un número que no sigui normal, per exemple 3/2. Amb això podem concloure que no tots els números són normals. Però per a concloure que X és cert necessitem una demostració. Considerem el problema: ''la suma de les xifres de tots els números divisibles per tres es pot dividir per tres''. Per exemple, el número 12 pot dividir-se per tres, la suma de xifres del qual és 1 + 2 = 3 i pot dividir-se per tres. Un altre exemple és 273 ja que 2 + 7 + 3 = 12. No obstant això, pretenem concloure que tots els números compleixen aquesta propietat. Per tant, no n'hi ha prou amb comprovar que és cert per a aquests dos exemples, i cal trobar un raonament basat en les matemàtiques. Si s'aconsegueix, es demostrarà que el problema és cert per a qualsevol número (i ningú podrà dir que sigui fals).

Andrew Wiles va demostrar l'últim teorema de Fermat en 1994. Ed. Klaus Barn_CC-BY-SA 3.0

L'últim teorema de Ferma es va proposar cap a 1640. És un problema molt senzill d'explicar, escrit per Fermat a la cantonada d'un llibre.

''Sigui n > 2 un nombre natural. No existeixen nombres naturals a, b i c que compleixin la següent igualtat: an + bn = cn .''

Molts matemàtics van intentar demostrar aquest problema, però no el van aconseguir fins que van passar més de 300 anys. El matemàtic Andrew Wiles va demostrar en 1994 l'últim teorema de Fermat, i afirmen que per a això va passar vuit anys treballant.

L'últim teorema de Fermat s'ha convertit en un problema matemàtic famós, ja que es parla no sols del món de les matemàtiques, sinó també de llibres, pel·lícules, etc. Però a més de l'últim teorema de Ferma, hi ha molts altres problemes que són fàcils d'explicar però difícils de resoldre. Els problemes més coneguts són:

1. Quadratura del cercle

El problema de quadratura del cercle es pot presentar:

La resolució de la quadratura del cercle va ser dictada per Ferdinand von Lindemann en 1882.

''Sigui el cercle de ràdio R. Utilitzant només una regla i un compàs dibuixa un quadrat de la mateixa superfície del cercle.''

Els babilonis ja tenien una aproximació a aquest problema. Ja l'any 500. Però la resolució del problema va ser presentada molt més tard per Ferdinand von Lindemann en 1882. Aquest matemàtic va demostrar que el número tup és transcendent i amb aquest resultat es pot concloure que el problema de la quadratura del cercle no és possible.

 

 

2. El problema de les primeres bessones numèriques

Els primers números només es poden dividir per un (1) i un mateix. Per exemple, 7 números són el primer. Els primers números són il·limitats, és a dir, infinits números són els primers. Aquest resultat va ser provat per Euclides, a. C. L'any 300 va escriure en el llibre Elements.

Diem que dos números a i b són els dos primers bessons si la distància entre ells és dues, és a dir, a = b + 2 o b = a + 2. Per exemple, 5 i 7 són els primers bessons. 11 i 13 també. El problema dels primers números bessons diu:

''El nombre de números primaris bessons és infinit.''

En l'actualitat aquest és un problema matemàtic obert, és a dir, els matemàtics no han aconseguit demostrar. I els primers números bessons més grans que s'han trobat són 3756801695685 · 2666669 ± 1. Per tant, es considera que els primers números bessons són il·limitats i fins que algú demostri que és veritat o fals continuarà sent conjetivo.

Preda Mih??ilescuk demostr?? l'aiero de Catalan en 2002. Ed. Volker Krummel

3. Conjectura de Catalan

En primer lloc, quedi clar que aquest problema no té res a veure amb els habitants de Catalunya. El problema plantejat per la matemàtica Eugène Charles Catalan en 1884 diu:

''Només hi ha una parella consecutiva i que és la recomposició dels nombres naturals: 23 i 32.'

Les paraules i consecutives dels nombres naturals 23 i 32 són vuit i nou respectivament. A més, la conjectura indica que no hi ha cap número normal x, i, p i q que compleixi la igualtat xp – yq = 1. Malgrat la fàcil explicació d'aquest problema, va ser molt difícil demostrar-lo per als matemàtics, i finalment va ser el matemàtic Preda Mih??ilescu qui el va demostrar en 2002.

4t Conjectura de Goldbach

Goldbach va proposar el seu desig en aquesta carta enviada a Euler en 1742.

L'aiero de Goldbach diu:

''Qualsevol nombre parell major que dos és la suma de dos nombres primers.''

Un exemple: 10 = 3 + 7, on 3 i 7 són els primers números. Altres exemples coneguts són 20 = 13 + 7 i 30 = 13 + 17. Hem vist que aquests números compleixen aquesta propietat. Però per a qualsevol nombre parell dir que això és cert, fa falta una demostració.

Aquest problema va aparèixer per primera vegada en una carta dirigida per Goldbach a Euler en 1742. Des de llavors molts matemàtics han treballat en aquest problema. En els últims anys, s'han desenvolupat mètodes numèrics molt complexos per a analitzar el problema, i segons aquestes anàlisis, tots els números menors de 1018 compleixen l'esperit de Goldbach. Per això, la majoria dels matemàtics creu que aquesta solució és certa, però encara no han trobat proves.

Hem vist problemes fàcils d'explicar però molt difícils de resoldre, i encara que existeixen molts d'aquests problemes, en aquest article he pensat escriure només alguns exemples. D'altra banda, conec problemes matemàtics difícils d'explicar i fàcils de resoldre, però que amb la vostra autorització els veurem en un altre moment.

Referències

''Els primers bessons''. Revista Elhuyar. 01/08/2008. 'Sobre l'últim teorema de Fermat.'' Revista Elhuyar. 01/05/1995 Autor: Javier Duoandikoetxea Zuazo. 'John Harper, investigant matemàtiques i ànecs'. Llengua Castellana. 15/11/2015 Autor: Josu Doncel Vicente. 'Modular elliptic corbis and Fermat's Last Theorem'.Annals of Mathematics 142 (2). Autor: Andrew Willes. 'Uever die Zahl pi'. 20 (2) de Mathematische Annal. Autor: Ferdinand von Lindemann.

Babesleak
Eusko Jaurlaritzako Industria, Merkataritza eta Turismo Saila
MAIER Koop. Elk.
KIDE Koop. Elk.
ULMA Koop. Elk.
EIKA Koop. Elk.
LAGUN ARO Koop. Elk.
FAGOR ELECTRÓNICA Koop. Elk.