Desagregación de "Elhuyar", "Elhuyaw", ": Semiordenak
Analisi Matematikoa saileko katedraduna eta Matematika mintegiko burua
Nafarroako Unibertsitate Publikoa
Askatasuna BHI institutuko Matematika irakaslea eta NUPeko Analisi Matematikoa sailean irakasle laguna
Si nun buscador de Internet escribísemos "Elhuyaw" (sic), deseguido nos sairía a mensaxe "Igual quixeches escribir Elhuyar" e despois as referencias a Elhuyar "" aparecerían ante os nosos ollos. Nesta ocasión, e co mesmo obxectivo, se escribísemos "Elhuyww", o buscador respondería de forma inmediata coa mensaxe "Non se atoparon resultados". As palabras "Elhuyaw" e "Elhuyar" diferéncianse por unha letra, mentres que a diferenza entre "Elhuyar" e "Elhuy2-2" pode deberse a unha resposta diferente.
Talvez o buscador teña un programa específico paira detectar a diferenza dunha letra entre dúas palabras, polo que se escribimos "Elhuyaw" deuse conta de que houbo un erro e supuxo que quixemos escribir "Elhuyar". Do mesmo xeito, o buscador non é capaz de supor que una vez escrito "Elhuy2-W" trátase dun erro debido á diferenza de dúas letras.
Pode ocorrer que o buscador teña un limiar de percepción (Limiar de percepción en castelán; threshold percepción en inglés), é dicir, si nunha letra diferéncianse como máximo dúas palabras, le os programas como inseparables e emite a mensaxe "Talvez ...", pero si escribimos dous ou máis letras mal, entende que estamos a buscar algo diferente: Elhuyar e Elhuyar son diferentes e os seus resultados. Vexamos que esta relación de inseparabilidad entre as palabras do exemplo non é transitoria: Elhuyar e Elhuyar son inseparables (porque se diferencian nunha letra). Pola mesma razón, "Elhuyaw" e "Elhuyff" son inseparables, pero diferencian as palabras "Elhuyar" e "Elhuyww", e así actúa o computador.
Con esta introdución, os membros do grupo de investigación sobre "Matemáticas da Orde" (UPNA, Pamplona), coa subvención do proxecto de investigación MTM2007-62499, queremos lanzar un pequeno apartado no que estamos a traballar nos últimos anos: comparacións entre opcións ou alternativas, indivisiones non transitorias e limiares de percepción, concepto básico das nosas últimas investigacións, chamado semiorden. Entre as súas aplicacións atópase a configuración de programas de buscador nos navegadores de rede.
Tendo en conta o principio histórico, este concepto é N. Aparece implicitamente nun traballo de Wiener de 1914. Anos despois, en 1956, R. D. Loce utilizouno no ámbito económico (ber)paira analizar situacións de comparación de oportunidades ou alternativas e tomar decisións nas que participan os axentes que deben establecer prioridades en situacións de indiferenciación non transitoria. R. D. O nome de semiorden (semiorder, en inglés; quasi-ordre francés) corresponde ao autor Loce...
Sistemas prioritarios e semiórdenes
Á hora de analizar un conxunto de opcións, detéctanse dúas relacións entre diferentes opcións, se temos dúas opcións, una máis adecuada, preferida ou desexable. Pero tamén poden ser similares. Neste caso, dános igual uno ou outro, porque non o separaremos. Estudaremos as propiedades das relacións "ser máis apropiado" e "ser inseparable" paira obter a definición da estrutura de semiórdenes. Sendo X un conxunto de opcións ou alternativas e P, se se trata de dúas relacións binarias definidas neste grupo I, enténdese que o par de relacións [P, I] sexa un sistema prioritario: A relación P utilizarémola paira expresar prioridades concretas (máis adecuadas) e a relación I paira expresar inseparabilidad.
É dicir, si x e e X son dúas opcións ou alternativas e gústanos máis que x opción e (escribimos x P e), por casualidade non pode ser e máis que x (si x P e é imposible e P x ), polo que P debe ser asimétrica. Pode ocorrer que as opcións x e e sexan iguais ou as alternativas sexan as mesmas, pero superaremos este problema con P irreflexivo ( se x é una alternativa, x P x ). Por outra banda, a relación I debe ser reflexiva, é dicir, se x I x ; x é una opción, non pode diferenciarse. Ademais, definiremos a relación I cando temos una relación P, non ao revés. Con isto queremos indicar que dúas opcións serán inseparables e escribiremos x I e si non é x P e nin P x. Outra propiedade de I é que é simétrico (si x I e, e I x).
Actualmente somos capaces de definir o concepto de semiorden, polo que non utilizaremos R. D. O que utilizou Loce, que é totalmente técnico: Aleskerov et ao. Utilizaremos o indicado no capítulo 3.2 do traballo (2007).
Si no grupo X está definido o sistema de prioridade [P, I], considerarase que a relación de prioridade concreta P é una semiorden, x ; e; z; calquera elemento do conxunto t X cumpre dúas condicións:
1. Se x P e ; e I z ; z P enchésese, deberíase encher x P t. (PIP B)
2. Se x P e ; e P z ; z I enchésese, deberíase encher x P t. (PPI B)
Limiares de percepción
Na definición de semiórdenes non aparece directamente o limiar de percepción, pero a indiferenza non transitoria demóstranos que é necesario, no exemplo introductorio "Elhuyar" I "Elhuyaw" I "Elhuyww", pero habemos visto que "Elhuyar" é "P "Elhuyar", e supuxemos que se o número de letras diferentes é maior que una sepáranse. Traballaremos a fronteira constante entre o que podemos elixir e o que son inseparables. Aínda que Loce tivo en conta a idea no seu artigo orixinal, foron Scott e Suppes, nun traballo de 1958, quen analizaron directamente o concepto. Neste traballo demostrouse un resultado moi importante das semiórdenes definidas en grupos finitos:
Teorema de Scott-Suppes [1958]: Dado que un conxunto finito X e a relación P son una semiorden definida no conxunto X, existe entón una función F definida no conxunto X e que toma valores reais, onde x e son dúas alternativas, x é máis satisfeita que e só se se cumpre que F(x)+1 < F(e).
Se nos fixamos no significado de leste teorema básico, observaremos que a semiorden P, baseada nas comparacións entre as distintas opcións, e que está definida na maioría das ocasións que seleccionamos as preferencias das opcións a escala cuantitativa, pasa a escala cualitativa ou numérica. É dicir, a cada una das x opcións do grupo X, mediante a función F, correspóndelle o número F( x ), (e a F( e )), de forma que, comparando os números reais F( x ) e F( e ), podemos saber se nos gusta máis que a alternativa e x. Esta prioridade P vén determinada por un limiar de percepción constante: Scott-Suppes Teoreman O limiar de percepción é un número. Observaremos que x é máis desexable que e só se o limiar de percepción F( e ) - F( x ) é maior que uno. Con todo, si en valor absoluto F( e ) - F( x ) é menor que una, entón as opcións x e e son inseparables.
Paira traballar as Matemáticas da Orde é necesario dispor deste tipo de traducións en escalas cuantitativas equivalentes a tipos de ordenación en escalas cualitativas, como as semiórdenes. É dicir, coñecer máis e menos entre os números que é habitual mediante a relación e non cualitativamente as opcións definidas nun conxunto (definidas por unha relación binaria ou por unha ordenación). O Teorema de Scott-Suppes nun conxunto finito transforma as escalas de semiorden en escalas numéricas mediante a función F e un limiar de percepción constante.
O problema da expresión numérica
O resultado que lanzamos no portal (Teorema Scott-Suppes), que afirma que una semiorden denominada P nos conxuntos finitos X pode ser representativa mediante unha función F e un limiar de percepción, non se cumpre nos conxuntos infinitos. Por tanto, diremos que una semiorden P definida nun conxunto infinito é representativa en forma de Scott-Suppes si podemos representala mediante unha función F e un limiar de percepción: Cando a función F está definida no grupo X e toma valores reais e temos dúas alternativas x e e é x P e, só si F( x ) + 1 < F( e ).
Agora, nesta situación xeral, existen semiórdenes P definidas nun conxunto X (necesariamente con infinitos elementos) que non admiten este tipo de expresións. Paira eles non é posible atopar una expresión como Scott-Suppes, una función F adecuada e un limiar de percepción constante. Exemplos como: Nun grupo X temos una secuencia x ( n ) na que cada elemento é máis satisfactorio que o seguinte (x ( n) P x ( n +1) n paira todos os números naturais) e un elemento x * paira todos os temas que cumpren x ( n) P x * (todos os elementos consecutivos son máis satisfeitos que el), nesta situación é imposible dar una expresión en forma de Scott-Suppes. Abrisqueta et ao. En (2009) aparecen diferentes exemplos.
Chegou o momento de expor a clave desta teoría. O problema da expresión numérica das semiórdenes: Cales son as características dunha semiorden P definida nun conxunto X para que este semiorden P sexa representativo en forma de Scott-Suppes? Levamos quince anos estudando este problema nalgúns grupos de investigación. A pesar de que obtivemos algún dos resultados xerais, é moi técnico paira explicar aquí. Paira máis información sobre este tema é interesante Abrisqueta et ao. (2009) Artigo de referencia, no que se analizan os pormenores do realizado en relación a este problema.
En xeral, como xa se mencionou anteriormente, a consecución de expresións numéricas de estruturas ordenadas é o quebradizo de cabeza dunha rama activa das Matemáticas da Orde, concretamente, a obtención de expresións numéricas de estruturas ordenadas. Podemos facer entender una escala cualitativa a través de una escala cuantitativa. Entre estas estruturas, as semiórdenes foron, sen dúbida, o problema máis difícil desde que Scott-Suppes presentou o seu traballo. O salto de escala cualitativa a escala cuantitativa noutras estruturas ordenadas vén dado desde hai varios anos. As respostas obtidas nas semiórdenes requiren un alto grao de abstracción de difícil desenvolvemento. Quizais deberiamos simplificalos, tentando buscar respostas alternativas máis sinxelas que as que temos actualmente. Niso estamos.
Bibliografía
Zu idazle
Zientzia aldizkaria
