Desagregació de "Elhuyar", "Elhuyaw", ": Semiordenak
Analisi Matematikoa saileko katedraduna eta Matematika mintegiko burua
Nafarroako Unibertsitate Publikoa
Askatasuna BHI institutuko Matematika irakaslea eta NUPeko Analisi Matematikoa sailean irakasle laguna
Si en un cercador d'Internet escrivíssim "Elhuyaw" (sic), de seguida ens sortiria el missatge "Igual has volgut escriure Elhuyar" i després les referències a Elhuyar "" apareixerien davant els nostres ulls. En aquesta ocasió, i amb el mateix objectiu, si escrivíssim "Elhuyww", el cercador respondria de manera immediata amb el missatge "No s'han trobat resultats". Les paraules "Elhuyaw" i "Elhuyar" es diferencien per una lletra, mentre que la diferència entre "Elhuyar" i "Elhuy2-2" pot deure's a una resposta diferent.
Tal vegada el cercador tingui un programa específic per a detectar la diferència d'una lletra entre dues paraules, per la qual cosa si escrivim "Elhuyaw" s'ha adonat que hi ha hagut un error i ha suposat que hem volgut escriure "Elhuyar". De la mateixa manera, el cercador no és capaç de suposar que una vegada escrit "Elhuy2-W" es tracta d'un error degut a la diferència de dues lletres.
Pot ocórrer que el cercador tingui un llindar de percepció (Llindar de percepció en castellà; threshold percepció en anglès), és a dir, si en una lletra es diferencien com a màxim dues paraules, llegeix els programes com a inseparables i emet el missatge "Tal vegada ...", però si escrivim dos o més lletres mal, entén que estem buscant una cosa diferent: Elhuyar i Elhuyar són diferents i els seus resultats. Vegem que aquesta relació d'inseparabilidad entre les paraules de l'exemple no és transitòria: Elhuyar i Elhuyar són inseparables (perquè es diferencien en una lletra). Per la mateixa raó, "Elhuyaw" i "Elhuyff" són inseparables, però diferencien les paraules "Elhuyar" i "Elhuyww", i així actua l'ordinador.
Amb aquesta introducció, els membres del grup de recerca sobre "Matemàtiques de l'Ordre" (UPNA, Pamplona), amb la subvenció del projecte de recerca MTM2007-62499, volem llançar un petit apartat en el qual estem treballant en els últims anys: comparacions entre opcions o alternatives, indivisiones no transitòries i llindars de percepció, concepte bàsic de les nostres últimes recerques, anomenat semiorden. Entre les seves aplicacions es troba la configuració de programes de cercador en els navegadors de xarxa.
Tenint en compte el principi històric, aquest concepte és N. Apareix implícitament en un treball de Wiener de 1914. Anys després, en 1956, R. D. Luce ho va utilitzar en l'àmbit econòmic (ber)per a analitzar situacions de comparació d'oportunitats o alternatives i prendre decisions en les quals participen els agents que han d'establir prioritats en situacions d'indiferenciación no transitòria. R. D. El nom de semiorden (semiorder, en anglès; quasi-ordre francès) correspon a l'autor Llueix...
Sistemes prioritaris i semiórdenes
A l'hora d'analitzar un conjunt d'opcions, es detecten dues relacions entre diferents opcions, si tenim dues opcions, una més adequada, preferida o desitjable. Però també poden ser similars. En aquest cas, ens és igual l'un o l'altre, perquè no el separarem. Estudiarem les propietats de les relacions "ser més apropiat" e ser "inseparable" per a obtenir la definició de l'estructura de semiórdenes. Sent X un conjunt d'opcions o alternatives i P, si es tracta de dues relacions binàries definides en aquest grup I, s'entén que el parell de relacions [P, I] sigui un sistema prioritari: La relació P la utilitzarem per a expressar prioritats concretes (més adequades) i la relació I per a expressar inseparabilidad.
És a dir, si x i i X són dues opcions o alternatives i ens agrada més que x opció i (escrivim x P i), per casualitat no pot ser i més que x (si x P i és impossible i P x ), per la qual cosa P ha de ser asimètrica. Pot ocórrer que les opcions x e i siguin iguals o les alternatives siguin les mateixes, però superarem aquest problema amb P irreflexiu ( si x és una alternativa, x P x ). D'altra banda, la relació I ha de ser reflexiva, és a dir, si x I x ; x és una opció, no pot diferenciar-se. A més, definirem la relació I quan tenim una relació P, no a l'inrevés. Amb això volem indicar que dues opcions seran inseparables i escriurem x I i si no és x P i ni P x. Una altra propietat d'I és que és simètric (si x I i, i I x).
Actualment som capaços de definir el concepte de semiorden, per la qual cosa no utilitzarem R. D. El que va utilitzar Llueix, que és totalment tècnic: Aleskerov et al. Utilitzarem l'indicat en el capítol 3.2 del treball (2007).
Si en el grup X està definit el sistema de prioritat [P, I], es considerarà que la relació de prioritat concreta P és una semiorden, x ; i; z; qualsevol element del conjunt t X compleix dues condicions:
1. Si x P i ; i I z ; z P s'emplenés, s'hauria d'emplenar x P t. (PIP B)
2. Si x P i ; i P z ; z I s'emplenés, s'hauria d'emplenar x P t. (PPI B)
Llindars de percepció
En la definició de semiórdenes no apareix directament el llindar de percepció, però la indiferència no transitòria ens demostra que és necessari, en l'exemple introductori "Elhuyar" I "Elhuyaw" I "Elhuyww", però hem vist que "Elhuyar" és "P "Elhuyar", i hem suposat que si el nombre de lletres diferents és major que una se separen. Treballarem la frontera constant entre el que podem triar i el que són inseparables. Encara que Llueix va tenir en compte la idea en el seu article original, van anar Scott i Suppes, en un treball de 1958, els qui van analitzar directament el concepte. En aquest treball es va demostrar un resultat molt important de les semiórdenes definides en grups finits:
Teorema de Scott-Suppes [1958]: Atès que un conjunt finit X i la relació P són una semiorden definida en el conjunt X, existeix llavors una funció F definida en el conjunt X i que pren valors reals, on x i són dues alternatives, x és més satisfeta que i només si es compleix que F(x)+1 < F(i).
Si ens fixem en el significat d'aquest teorema bàsic, observarem que la semiorden P, basada en les comparacions entre les diferents opcions, i que està definida en la majoria de les ocasions que seleccionem les preferències de les opcions a escala quantitativa, passa a escala qualitativa o numèrica. És a dir, a cadascuna de les x opcions del grup X, mitjançant la funció F, li correspon el número F( x ), (i a F( i )), de manera que, comparant els nombres reals F( x ) i F( i ), podem saber si ens agrada més que l'alternativa i x. Aquesta prioritat P ve determinada per un llindar de percepció constant: Scott-Suppes Teoreman El llindar de percepció és un número. Observarem que x és més desitjable que i només si el llindar de percepció F( i ) - F( x ) és major que un. No obstant això, si en valor absolut F( i ) - F( x ) és menor que una, llavors les opcions x e i són inseparables.
Per a treballar les Matemàtiques de l'Ordre és necessari disposar d'aquesta mena de traduccions en escales quantitatives equivalents a tipus d'ordenació en escales qualitatives, com les semiórdenes. És a dir, conèixer més i menys entre els números que és habitual mitjançant la relació i no qualitativament les opcions definides en un conjunt (definides per una relació binària o per una ordenació). El Teorema de Scott-Suppes en un conjunt finit transforma les escales de semiorden en escales numèriques mitjançant la funció F i un llindar de percepció constant.
El problema de l'expressió numèrica
El resultat que hem llançat en el portal (Teorema Scott-Suppes), que afirma que una semiorden denominada P en els conjunts finits X pot ser representativa mitjançant una funció F i un llindar de percepció, no es compleix en els conjunts infinits. Per tant, direm que una semiorden P definida en un conjunt infinit és representativa en forma de Scott-Suppes si podem representar-la mitjançant una funció F i un llindar de percepció: Quan la funció F està definida en el grup X i pren valors reals i tenim dues alternatives x e i és x P i, només si F( x ) + 1 < F( i ).
Ara, en aquesta situació general, existeixen semiórdenes P definides en un conjunt X (necessàriament amb infinits elements) que no admeten aquest tipus d'expressions. Per a ells no és possible trobar una expressió com Scott-Suppes, una funció F adequada i un llindar de percepció constant. Exemples com: En un grup X tenim una seqüencia x ( n ) en la qual cada element és més satisfactori que el següent (x ( n) P x ( n +1) n per a tots els nombres naturals) i un element x * per a tots els temes que compleixen x ( n) P x * (tots els elements consecutius són més satisfets que ell), en aquesta situació és impossible donar una expressió en forma de Scott-Suppes. Abrisqueta et al. En (2009) apareixen diferents exemples.
Ha arribat el moment de plantejar la clau d'aquesta teoria. El problema de l'expressió numèrica de les semiórdenes: Quines són les característiques d'una semiorden P definida en un conjunt X perquè aquest semiorden P sigui representatiu en forma de Scott-Suppes? Portem quinze anys estudiant aquest problema en alguns grups de recerca. A pesar que hem obtingut algun dels resultats generals, és molt tècnic per a explicar aquí. Per a més informació sobre aquest tema és interessant Abrisqueta et al. (2009) Article de referència, en el qual s'analitzen els detalls del realitzat en relació a aquest problema.
En general, com ja s'ha esmentat anteriorment, la consecució d'expressions numèriques d'estructures ordenades és el maldecap d'una branca activa de les Matemàtiques de l'Ordre, concretament, l'obtenció d'expressions numèriques d'estructures ordenades. Podem fer entendre una escala qualitativa a través d'una escala quantitativa. Entre aquestes estructures, les semiórdenes han estat, sens dubte, el problema més difícil des que Scott-Suppes va presentar el seu treball. El salt d'escala qualitativa a escala quantitativa en altres estructures ordenades ve dau des de fa diversos anys. Les respostes obtingudes en les semiórdenes requereixen un alt grau d'abstracció de difícil desenvolupament. Potser hauríem de simplificar-los, intentant buscar respostes alternatives més senzilles que les que tenim actualment. En això estem.
Bibliografia
Zu idazle
Zientzia aldizkaria
