Désagrégation de "Elhuyar", "Elhuyaw", ": Semiordenak
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Si nous écrivions "Elhuyaw" (sic) dans un moteur de recherche Internet, le message "Tu as voulu écrire Elhuyar" nous paraîtra immédiatement et les références à "Elhuyar" apparaîtront à nos yeux. A cette occasion, et dans le même but, si nous écrivons "Elhuyww", le chercheur répondrait immédiatement avec le message "Aucun résultat trouvé". Les mots "Elhuyaw" et "Elhuyar" diffèrent par une lettre, tandis que la différence entre "Elhuyar" et "Elhuy2-2" peut être due à une réponse différente.
Peut-être que le chercheur a un programme spécifique pour détecter la différence d'une lettre entre deux mots, donc si nous écrivons "Elhuyaw", il a remarqué qu'il y a eu une erreur et il a supposé que nous voulions écrire "Elhuyar". De même, le chercheur n'est pas en mesure de supposer qu'une fois écrit "Elhuy2-W" c'est une erreur due à la différence de deux lettres.
Il peut arriver que le chercheur ait un seuil de perception (seuil de perception en espagnol; threshold perception en anglais), c'est-à-dire que si dans une lettre deux mots sont différents au maximum, il lit les programmes comme inséparables et émet le message "Peut-être ...", mais si nous écrivons deux ou plusieurs lettres mal, il comprend que nous cherchons quelque chose de différent: Elhuyar et Elhuyar sont différents et leurs résultats. Voyons que cette relation d’inséparabilité entre les mots de l’exemple n’est pas transitoire: Elhuyar et Elhuyar sont inséparables (parce qu'ils diffèrent en une lettre). Pour la même raison, "Elhuyaw" et "Elhuyff" sont inséparables, mais ils différencient les mots "Elhuyar" et "Elhuyww", et ainsi agit l'ordinateur.
Avec cette introduction, les membres du groupe de recherche sur "Mathématiques de l'Ordre" (UPNA, Pampelune), avec la subvention du projet de recherche MTM2007-62499, veulent lancer une petite section dans laquelle nous travaillons ces dernières années: comparaisons entre options ou alternatives, indivisions non transitoires et seuils de perception, concept de base de nos dernières recherches, appelé semi-ordre. Parmi ses applications, vous trouverez la configuration des programmes de recherche dans les navigateurs réseau.
Compte tenu du principe historique, ce concept est N. Il apparaît implicitement dans un travail de Wiener de 1914. Des années plus tard, en 1956, R. D. Luce l'a utilisé dans le domaine économique (ber) pour analyser des situations de comparaison d'opportunités ou d'alternatives et prendre des décisions auxquelles participent les agents qui doivent établir des priorités dans des situations d'indifférence non transitoire. R. D. Le nom de semi-ordre (semiorder, en anglais; quasi-ordre français) correspond à l'auteur Luce...
Systèmes prioritaires et demi-ordres
Lors de l'analyse d'un ensemble d'options, deux relations sont détectées entre différentes options, si nous avons deux options, une plus adaptée, préférée ou souhaitable. Mais ils peuvent aussi être similaires. Dans ce cas, il nous donne la même chose, parce que nous ne le séparerons pas. Nous étudierons les propriétés des relations "être plus approprié" et "être inséparable" pour obtenir la définition de la structure des demi-ordres. X étant un ensemble d'options ou d'alternatives et P, s'il s'agit de deux relations binaires définies dans ce groupe I, on entend que le couple de relations [P, I] soit un système prioritaire: La relation P sera utilisée pour exprimer des priorités concrètes (plus adéquates) et la relation I pour exprimer l'inséparabilité.
C'est-à-dire que si x et y X sont deux options ou alternatives et nous aimons plus que x option et (nous écrivons x P et), par hasard ne peut pas être et plus que x (si x P et est impossible et P x ), donc P doit être asymétrique. Il se peut que les options x et y soient identiques ou les alternatives soient les mêmes, mais nous surmonterons ce problème avec P irréfléchi ( si x est une alternative, x P x ). D'autre part, la relation I doit être réfléchie, c'est-à-dire si x I x ; x est une option, elle ne peut pas se différencier. En outre, nous définirons la relation I lorsque nous avons une relation P, pas l'inverse. Avec cela nous voulons indiquer que deux options seront inséparables et nous écrirons x I et si ce n'est x P et ni P x. Une autre propriété de I est qu'il est symétrique (si x I et, et I x).
Nous sommes actuellement en mesure de définir le concept de semi-ordre, donc nous n'utiliserons pas R. D. Celui qui a utilisé Luce, qui est entièrement technique: Aleskerov et al. Nous utiliserons ce qui est indiqué au chapitre 3.2 du travail (2007).
Si le système de priorité [P, I] est défini dans le groupe X, le rapport de priorité spécifique P est considéré comme un demi-ordre, x ; y ; z ; tout élément de l'ensemble t X remplit deux conditions :
1. Si x P et ; et I z ; z P est rempli, x P doit être rempli. (PIP B)
2. Si x P et ; et P z ; z I est rempli, x P doit être rempli. (PPI B)
Seuils de perception
Dans la définition des demi-ordres, le seuil de perception n'apparaît pas directement, mais l'indifférence non transitoire nous montre qu'il est nécessaire, dans l'exemple introductif "Elhuyar" I "Elhuyaw" I "Elhuyww", mais nous avons vu que "Elhuyar" est "P "Elhuyar", et nous avons supposé que si le nombre de lettres différentes est supérieur à une sont séparés. Nous travaillerons la frontière constante entre ce que nous pouvons choisir et ce qui sont inséparables. Bien que Luce a pris en compte l'idée dans son article original, ce sont Scott et Suppes, dans un travail de 1958, qui ont analysé directement le concept. Ce travail a montré un résultat très important des demi-ordres définis dans les groupes finis:
Théorème de Scott-Suppes [1958]: Comme un ensemble fini X et le rapport P sont un demi-ordre défini dans l'ensemble X, il existe alors une fonction F définie dans l'ensemble X et qui prend des valeurs réelles, où x et sont deux alternatives, x est plus satisfaite que et seulement si elle est remplie que F(x)+1 F(y).
Si on regarde la signification de ce théorème de base, on remarquera que le demi-ordre P, basé sur les comparaisons entre les différentes options, et qui est défini dans la plupart des occasions que nous sélectionnons les préférences des options à l'échelle quantitative, passe à l'échelle qualitative ou numérique. C'est-à-dire que chacun des x options du groupe X, à travers la fonction F, correspond le nombre F( x ), (et F( y )), de sorte que, en comparant les nombres réels F( x ) et F( y ), nous pouvons savoir si nous aimons plus que l'alternative et x. Cette priorité P est déterminée par un seuil de perception constant: Scott-Suppes Teoreman Le seuil de perception est un nombre. Notons que x est plus souhaitable que et seulement si le seuil de perception F( et ) - F( x ) est supérieur à un. Cependant, si la valeur absolue F( et ) - F( x ) est inférieure à une, alors les options x et y sont inséparables.
Pour travailler les Mathématiques de l'Ordre, il est nécessaire de disposer de ce type de traductions à des échelles quantitatives équivalentes à des types d'ordination aux échelles qualitatives, comme les demi-ordres. C'est-à-dire, connaître de plus en moins entre les nombres qui est habituel par la relation et non qualitativement les options définies dans un ensemble (définies par une relation binaire ou par une ordination). Le Théorème de Scott-Suppes dans un ensemble fini transforme les échelles de semi-ordre en échelles numériques par la fonction F et un seuil de perception constante.
Le problème de l'expression numérique
Le résultat que nous avons publié sur le portail (Théorème Scott-Suppes), qui affirme qu'un demi-ordre appelé P dans les ensembles finis X peut être représentatif par une fonction F et un seuil de perception, n'est pas atteint dans les ensembles infinis. Nous dirons donc qu'un demi-ordre P défini dans un ensemble infini est représentatif sous forme de Scott-Suppes si nous pouvons le représenter par une fonction F et un seuil de perception : Lorsque la fonction F est définie dans le groupe X et prend des valeurs réelles et que nous avons deux alternatives x e y y es x P et, seulement si F( x ) + 1 F( y ).
Maintenant, dans cette situation générale, il existe des demi-ordres P définis dans un ensemble X (nécessairement avec des éléments infinis) qui n'admettent pas ce type d'expressions. Pour eux, il n'est pas possible de trouver une expression comme Scott-Suppes, une fonction F appropriée et un seuil de perception constant. Des exemples comme: Dans un groupe X nous avons une séquence x ( n ) dans laquelle chaque élément est plus satisfaisant que le suivant (x ( n) P x ( n +1) n pour tous les nombres naturels) et un élément x * pour tous les thèmes qui remplissent x ( n) P x * (tous les éléments consécutifs sont plus satisfaits que lui), dans cette situation il est impossible de donner une expression sous la forme de Scott-Suppes. Abrisqueta et al. Différents exemples apparaissent en 2009.
Le moment est venu de poser la clé de cette théorie. Le problème de l'expression numérique des demi-ordres: Quelles sont les caractéristiques d'un demi-ordre P défini dans un ensemble X pour que ce demi-ordre P soit représentatif sous forme de Scott-Suppes ? Nous étudions ce problème depuis quinze ans dans certains groupes de recherche. Même si nous avons obtenu l'un des résultats globaux, il est très technique pour expliquer ici. Pour plus d'informations sur ce sujet est intéressant Abrisqueta et al. (2009) Article de référence, dans lequel sont analysés les détails de ce qui a été fait en ce qui concerne ce problème.
En général, comme déjà mentionné ci-dessus, la réalisation d'expressions numériques de structures ordonnées est la casse de tête d'une branche active des mathématiques de l'Ordre, en particulier l'obtention d'expressions numériques de structures ordonnées. Nous pouvons faire comprendre une échelle qualitative à travers une échelle quantitative. Parmi ces structures, les demi-ordres ont sans doute été le problème le plus difficile depuis que Scott-Suppes a présenté son travail. Le saut d'échelle qualitative à l'échelle quantitative dans d'autres structures ordonnées est donné depuis plusieurs années. Les réponses obtenues dans les demi-ordres nécessitent un degré élevé d'abstraction difficile à développer. Nous devrions peut-être les simplifier, en essayant de chercher des réponses alternatives plus simples que celles que nous avons actuellement. Nous sommes là.
Bibliographie Bibliographie
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