Mathematica (III)

3. Extremos condicionados dunha función

• Enunciado

Moitas veces, ao calcular os extremos dunha función, dannos as condicións que deben cumprir eses extremos. É dicir, só teremos que aceptar algúns resultados. No exemplo seguinte veremos como se poden calcular os extremos condicionados dunha función mediante Mathematica.

• Pasos da resolución

Primeiro calcularemos os extremos normais da función paira logo poder comparalos cos extremos condicionados. Calcularemos os extremos condicionados utilizando o método de multiplicadores de Lagrange.

• Ordes a utilizar

D: calcula a derivada dunha función respecto da variable dada.

Solve: é a orde de resolución de ecuacións.

Unión: fai a recompilación de listas eliminando elementos repetidos.

/ : aplica a regra ou conxunto de regras que se indica á dereita á expresión esquerda.

Plot3D: fai una imaxe tridimensional dunha función.

ViewPoint: mostra a imaxe tridimensional desde un punto de vista concreto.

AspecRatio: representa a proporción entre os eixos do gráfico.

DisplayFunction: permite visualizar o gráfico ou non.

PlotRange: permite limitar os valores da función no gráfico.

Axes: característica de representar ou non os eixos dos gráficos.

Boxed: representa a caixa en imaxes tridimensionales.

RGBColor: serve paira seleccionar a cor da imaxe dun gráfico.

Point Size: indica o tamaño que terá o punto na imaxe.

Point: adapta as bandas de dúas ou tres elementos a un plano ou punto do espazo.

Show: mostra os compoñentes gráficos.

ParametricPlot3D: realiza un gráfico tridimensional a partir de ecuacións paramétricas. Utilízase paira representar superficies que non poden expresarse como funcións.

Box Cocientes: permite expresar as proporcións entre os eixos dos gráficos tridimensionales.

Contour Plot: representa as curvas de nivel dunha imaxe tridimensional.

ParametricPlot: grafico bidimensional a partir de ecuacións paramétricas. Utilízase paira representar curvas que non se poden representar como funcións.

PlotStyle: permite definir algunhas características da imaxe.

Graphics: converte o dato que se lle dá nun elemento representable.

Polygon: une os puntos outorgados mediante un polígono.

• Resolución por Mathematica

g[x_, e_]:= y3 + x2 e + 2x2 + 2y2 - 4e – 8

Extremos comúns:

d1[x_,e_]:=D[g[x,e],x]d2[x_,e_]:=D[g[x,e],e]

punegon=Solve[{d1[x,e]==0,d2[x,e]==0},{x,e}]punegon=Union[punegon]

{{X B 0, e Regra -2}, {x Regra 0, e Regra -2}, {x B 0, e
B 2},{x B 0, e
B/3}{{x B 0, e -2}, {x 0, e B/3}}

d11[x_,e_]:=D[g[x,e],{x,2}]d22[x_,e_]:=D[g[x,e],{e,2}]d12[x_,e_]:=D[g[x,e],x,e]

h1[x_,e_]:=d11[x,e]h2[x_,e_]:=d11[x,e]d22[x,e]-d12[x,e]2

hess={1,h1[x,e],h2[x,e]}
hess / punk

{1, 4 + 2 e, -4 x2 + (4 + 2e) (4 + 6e)}{{1,
0, 0}, {1, 16/3, 128/3}

No primeiro punto (0,-2), este método non nos di o que pasa porque hai temas da serie que son cero. Por tanto, non podemos decidir a natureza deste punto. No segundo punto (0,2/3), en cambio, a función ten un mínimo relativo xa que todos os temas da sucesión de barreiras son positivos.

p0=Plot3D[g[x,e], {x,-1,1}, {e,-3,1}, ViewPoint} {1,0.5,0.25}, AspectRatio False Automatic, DisplayFunction Identity, PlotRange> All, Axes False, Bose False]

-Surface Graphics-

mut=Graphics3D[{{RGBColor[0.5.0.0.5], Point[0.03], Point[{0,-2.g[0,-2]}], {RGBColor[1.0,0], Point[0.03], Point[{0,2/3.g[0]+0.1}]

-Graphics3D-

Show[p0, mut, DisplayFunction:>$DisplayFunction]

-Graphics3D-

Extremos condicionados:

Condición x2+y2=1

F[x_,e_]:=g[x,e]+l(x2+y2-1)

d1F[x_,e_]:=D[x,e],x]d2F[x_,e_]:=D[F[x,e],e]d11F[x_,e_]:=D[F[x,e],{x,2}]d22F[x_,e,12_]:



pungel=Solve[{d1F[x,e]==0,d2F[x,e]==0,x2+y2==1}, {x,e, l}]

{{l Territorio -(5/2), x Regra 0, e Regra
-1},{l -(3/2), x Regra 0, e Regra 1}

h1F[x_,e_]:=d11F[x,e]h2F[x_,e_]:=d11F[x,e]d22F[x,e]-d12F[x,e]2

hessF={1,h1F[x,e],h2F[x,e]}

{1, 4 + 2e + 2l, -4 x2 + (4 + 2e + 2l) (4 + 6e + 2l)}

hessF / pungel

{{1,-3,21},{1,3,21}

Por tanto, no primeiro punto, (0,-1), ten un mínimo e no segundo, (0,1), o máximo, segundo os signos dos temas da sucesión de valos.

zi=ParametricPlot3D[{Cos[t], Sen[t], z}, {t,0,2>}, {z,-10,0}, Box Cocientes Regula Automatic, DisplayFunction Identity]

-Graphics3D-

p1=Plot3D[g[x,e],{x,-1,1},{e,-3,1}, Box Cocientes Regula Automatic, DisplayFunction Regra Identity]

Show[p1, zi, DisplayFunction:>$DisplayFunction,ViewPoint
B {1,0.5,8}]

-Graphics3D-

ps1=Graphics3D[{{RGBColor[1,0,0], Point[0.025], Point[{0,1,-9}]}, {RGBColor[0,0,1], Point[0.025], Point[{0,-1,-3}]]

-Graphics3D-

mb1=ParametricPlot3D[{Cos[t], Sen[t], -3Sen[t]-6}, {t,0,2{}, ViewPoint
{1,.0.5,8},DisplayFunction> Identity]

-Graphics3D-

Show[mb1, ps1, DisplayFunction:>$DisplayFunction]

-Graphics3D-

kp2=ConcanalPlot[g[x,e], {x,-2.5,2.5}, {e,-3,1},
AspectRatio> Automatic,DisplayFunction Regra
Identity]

-Contour Graphics-

mb2=ParametricPlot[{Cos[t], Sen[t]}, {t,0.2},
PlotStyle> RGBCcolor[0,1,0],

AspectRatio Establecido
Automatic,DisplayFunction Identity]

-Graphics-

ps2=Graphics[{{RGBColor[1,0,0], Point[{0.06], Point[{0,1}]}, {RGBColor[0,0,1], Point Size[0.06], Point[{0,-1}]]

-Graphics-



mut2=Graphics[{{RGBColor[0.5.0.5],Polygon[{-0.025,-2.025},{-0.025,-1.975},{0.025,-1.975},{0.025,-2.025},{-0.025,{-0.025},{-0.025,}


-Graphics-

Show[kp2, mb2, mut2, ps2, DisplayFunction:>$DisplayFunction]

-Graphics-

• Comentarios

En primeiro lugar, calculamos os extremos normais mediante o método tradicional. É dicir, calculamos as primeiras derivadas parciais utilizando a orde D e resolvemos o sistema de ecuacións que se xera igualando con cero a través de Solve. Utilizouse a orde Unión paira eliminar as solucións repetidas do sistema. Por último, coas segundas derivadas parciais completamos a sucesión de barreiras e determinamos os extremos en función da sucesión correspondente a cada punto. Estes extremos son os que se poden distinguir na imaxe realizada coas ordes Plot3D, Graphics3D e Show.

Na segunda parte utilizouse o método de Lagrange paira calcular os extremos condicionados. Paira iso valémonos como antes de as ordes D e Solve. A continuación realizáronse as imaxes tridimensionales de función e condición utilizando Plot3D e ParametricPlot3D. Máis abaixo representouse a curva de intersección entre función e condición e os puntos atopados coas ordes Graphics3D, ParametricPlot3D, Point e Show.

Por último, realizouse una proxección superior de función e condición (Contour Plot) na que se colocaron os extremos normais (Polygon, cadrado) e condicionados (Point, círculo).

Gehitu iruzkin bat

Saioa hasi iruzkinak uzteko.

Babesleak
Eusko Jaurlaritzako Industria, Merkataritza eta Turismo Saila
MAIER Koop. Elk.
KIDE Koop. Elk.
ULMA Koop. Elk.
EIKA Koop. Elk.
LAGUN ARO Koop. Elk.
FAGOR ELECTRÓNICA Koop. Elk.