Mathematica (III)
3. Extremos condicionados dunha función
• Enunciado
Moitas veces, ao calcular os extremos dunha función, dannos as condicións que deben cumprir eses extremos. É dicir, só teremos que aceptar algúns resultados. No exemplo seguinte veremos como se poden calcular os extremos condicionados dunha función mediante Mathematica.
• Pasos da resolución
Primeiro calcularemos os extremos normais da función paira logo poder comparalos cos extremos condicionados. Calcularemos os extremos condicionados utilizando o método de multiplicadores de Lagrange.
• Ordes a utilizar
D: calcula a derivada dunha función respecto da variable dada.
Solve: é a orde de resolución de ecuacións.
Unión: fai a recompilación de listas eliminando elementos repetidos.
/ : aplica a regra ou conxunto de regras que se indica á dereita á expresión esquerda.
Plot3D: fai una imaxe tridimensional dunha función.
ViewPoint: mostra a imaxe tridimensional desde un punto de vista concreto.
AspecRatio: representa a proporción entre os eixos do gráfico.
DisplayFunction: permite visualizar o gráfico ou non.
PlotRange: permite limitar os valores da función no gráfico.
Axes: característica de representar ou non os eixos dos gráficos.
Boxed: representa a caixa en imaxes tridimensionales.
RGBColor: serve paira seleccionar a cor da imaxe dun gráfico.
Point Size: indica o tamaño que terá o punto na imaxe.
Point: adapta as bandas de dúas ou tres elementos a un plano ou punto do espazo.
Show: mostra os compoñentes gráficos.
ParametricPlot3D: realiza un gráfico tridimensional a partir de ecuacións paramétricas. Utilízase paira representar superficies que non poden expresarse como funcións.
Box Cocientes: permite expresar as proporcións entre os eixos dos gráficos tridimensionales.
Contour Plot: representa as curvas de nivel dunha imaxe tridimensional.
ParametricPlot: grafico bidimensional a partir de ecuacións paramétricas. Utilízase paira representar curvas que non se poden representar como funcións.
PlotStyle: permite definir algunhas características da imaxe.
Graphics: converte o dato que se lle dá nun elemento representable.
Polygon: une os puntos outorgados mediante un polígono.
• Resolución por Mathematica
g[x_, e_]:= y3 + x2 e + 2x2 + 2y2 - 4e – 8
Extremos comúns:
d1[x_,e_]:=D[g[x,e],x]d2[x_,e_]:=D[g[x,e],e]
punegon=Solve[{d1[x,e]==0,d2[x,e]==0},{x,e}]punegon=Union[punegon]
{{X B 0, e Regra -2}, {x Regra 0, e Regra -2}, {x B 0, e
B 2},{x B 0, e
B/3}{{x B 0, e -2}, {x 0, e B/3}}
d11[x_,e_]:=D[g[x,e],{x,2}]d22[x_,e_]:=D[g[x,e],{e,2}]d12[x_,e_]:=D[g[x,e],x,e]
h1[x_,e_]:=d11[x,e]h2[x_,e_]:=d11[x,e]d22[x,e]-d12[x,e]2
hess={1,h1[x,e],h2[x,e]}
hess / punk
{1, 4 + 2 e, -4 x2 + (4 + 2e) (4 + 6e)}{{1,
0, 0}, {1, 16/3, 128/3}
No primeiro punto (0,-2), este método non nos di o que pasa porque hai temas da serie que son cero. Por tanto, non podemos decidir a natureza deste punto. No segundo punto (0,2/3), en cambio, a función ten un mínimo relativo xa que todos os temas da sucesión de barreiras son positivos.
p0=Plot3D[g[x,e], {x,-1,1}, {e,-3,1}, ViewPoint} {1,0.5,0.25}, AspectRatio False Automatic, DisplayFunction Identity, PlotRange> All, Axes False, Bose False]
-Surface Graphics-
mut=Graphics3D[{{RGBColor[0.5.0.0.5], Point[0.03], Point[{0,-2.g[0,-2]}], {RGBColor[1.0,0], Point[0.03], Point[{0,2/3.g[0]+0.1}]
-Graphics3D-
Show[p0, mut, DisplayFunction:>$DisplayFunction]
-Graphics3D-
Extremos condicionados:
Condición x2+y2=1
F[x_,e_]:=g[x,e]+l(x2+y2-1)
d1F[x_,e_]:=D[x,e],x]d2F[x_,e_]:=D[F[x,e],e]d11F[x_,e_]:=D[F[x,e],{x,2}]d22F[x_,e,12_]:
pungel=Solve[{d1F[x,e]==0,d2F[x,e]==0,x2+y2==1}, {x,e, l}]
{{l Territorio -(5/2), x Regra 0, e Regra
-1},{l -(3/2), x Regra 0, e Regra 1}
h1F[x_,e_]:=d11F[x,e]h2F[x_,e_]:=d11F[x,e]d22F[x,e]-d12F[x,e]2
hessF={1,h1F[x,e],h2F[x,e]}
{1, 4 + 2e + 2l, -4 x2 + (4 + 2e + 2l) (4 + 6e + 2l)}
hessF / pungel
{{1,-3,21},{1,3,21}
Por tanto, no primeiro punto, (0,-1), ten un mínimo e no segundo, (0,1), o máximo, segundo os signos dos temas da sucesión de valos.
zi=ParametricPlot3D[{Cos[t], Sen[t], z}, {t,0,2>}, {z,-10,0}, Box Cocientes Regula Automatic, DisplayFunction Identity]
-Graphics3D-
p1=Plot3D[g[x,e],{x,-1,1},{e,-3,1}, Box Cocientes Regula Automatic, DisplayFunction Regra Identity]
Show[p1, zi, DisplayFunction:>$DisplayFunction,ViewPoint
B {1,0.5,8}]
-Graphics3D-
ps1=Graphics3D[{{RGBColor[1,0,0], Point[0.025], Point[{0,1,-9}]}, {RGBColor[0,0,1], Point[0.025], Point[{0,-1,-3}]]
-Graphics3D-
mb1=ParametricPlot3D[{Cos[t], Sen[t], -3Sen[t]-6}, {t,0,2{}, ViewPoint
{1,.0.5,8},DisplayFunction> Identity]
-Graphics3D-
Show[mb1, ps1, DisplayFunction:>$DisplayFunction]
-Graphics3D-
kp2=ConcanalPlot[g[x,e], {x,-2.5,2.5}, {e,-3,1},
AspectRatio> Automatic,DisplayFunction Regra
Identity]
-Contour Graphics-
mb2=ParametricPlot[{Cos[t], Sen[t]}, {t,0.2},
PlotStyle> RGBCcolor[0,1,0],
AspectRatio Establecido
Automatic,DisplayFunction Identity]
-Graphics-
ps2=Graphics[{{RGBColor[1,0,0], Point[{0.06], Point[{0,1}]}, {RGBColor[0,0,1], Point Size[0.06], Point[{0,-1}]]
-Graphics-
mut2=Graphics[{{RGBColor[0.5.0.5],Polygon[{-0.025,-2.025},{-0.025,-1.975},{0.025,-1.975},{0.025,-2.025},{-0.025,{-0.025},{-0.025,}
-Graphics-
Show[kp2, mb2, mut2, ps2, DisplayFunction:>$DisplayFunction]
-Graphics-
• Comentarios
En primeiro lugar, calculamos os extremos normais mediante o método tradicional. É dicir, calculamos as primeiras derivadas parciais utilizando a orde D e resolvemos o sistema de ecuacións que se xera igualando con cero a través de Solve. Utilizouse a orde Unión paira eliminar as solucións repetidas do sistema. Por último, coas segundas derivadas parciais completamos a sucesión de barreiras e determinamos os extremos en función da sucesión correspondente a cada punto. Estes extremos son os que se poden distinguir na imaxe realizada coas ordes Plot3D, Graphics3D e Show.
Na segunda parte utilizouse o método de Lagrange paira calcular os extremos condicionados. Paira iso valémonos como antes de as ordes D e Solve. A continuación realizáronse as imaxes tridimensionales de función e condición utilizando Plot3D e ParametricPlot3D. Máis abaixo representouse a curva de intersección entre función e condición e os puntos atopados coas ordes Graphics3D, ParametricPlot3D, Point e Show.
Por último, realizouse una proxección superior de función e condición (Contour Plot) na que se colocaron os extremos normais (Polygon, cadrado) e condicionados (Point, círculo).
Zu idazle
Zientzia aldizkaria
