Calculamos ahora el volumen que delimitan ambas superficies en el espacio. Para ello utilizaremos una doble integral. Para definir los límites de las integrales, representaremos las proyecciones de superficies desde diferentes puntos de vista.
Primero calcularemos los extremos normales de la función para luego poder compararlos con los extremos condicionados. Calcularemos los extremos condicionados utilizando el método de multiplicadores de Lagrange.
Ecuaciones cartesianas:
esfera x2 + y2 + z2 = Cilindro 4: x2 + y2 - 2y = 0Ecuaciones paramétricas:
esfera: | x = 2cos[t] cos[v], | cilindro: | x = 2sin[t] cos[t], |
y = 2sin[t] cos[v], | y = 2sen[t]2, | ||
z = 2sen[v], | z = z |
Imagen tridimensional:
-Graphics3D-
z = ParametricPlot3D[ {2sin[t]cos[t],2sin[t]2,z}, {t,0,2{}, {z,-2,2}, ViewPoint Regla {3,1,1.5}, DisplayFunction> Identity]
-Graphics3D-
Show[e, z, DisplayFunction: $DisplayFunction]
-Graphics3D-
Proyección en planta:
pc=Graphics[{Circle[{0,0},2], {RGBColor[1,0,0], Disk[{1,0},1]}, Axes> True, AspectRatio Automatic]
-Graphics3D-
Show[xliff-newline]
-Graphics3D-
Proyección previa:
Abr=Graphics[{{RGBColor[1,0,0], Rectangle[{0,-2},{2,2}]}, Circle[{0,0},2]}, Axes- True, AspectRatio-Automatic]
-Graphics3D-
Show[abr]
-Graphics3D-
Proyección desde la derecha:
epr=Graphics[{{RGBColor[1,0,0], Rectangle[{-1,-2},{1,2}]}, Circle[{0,0},2]}, Axes> True, AspectRatio Regla Automatic]
-Graphics3D-
Show[epr, Axes> True]
-Graphics3D-
Integral doble:
Límites de integrales en coordenadas cartesianas:
y Prudencio [0, 2],x Conviene [-] (2 y - y2), » (2 y - y2)]integrado: z = » (4 - x2 - y2).Límites de integrales en coordenadas cilíndricas:
integrando
z = r * (4 - r2)Nota: con estos límites sólo calcularemos la mitad superior del volumen.
Integrate[r*Sqrt[4-r2],{t,0,{},{r,0,2sin[t]}]?8/3
+ 4/9 (-4 + 3ess) - 4/9 (4 + 3?)
Simplify[%]
8/9 (-4 + 3ler)
Esto es la mitad superior del volumen. Por tanto, el volumen total:
2 * 16/9
(-4 + 3ash)
Primero hemos hecho una imagen tridimensional para captar la idea de volumen. Para ello hemos utilizado las tradicionales órdenes ParametricPlot3D y Show y hemos elegido el enfoque estándar a través de la característica ViewPoint. A continuación, hemos representado las tres proyecciones de volumen, la superior, la frontal y la derecha, utilizando las órdenes Disk, Rectangle, Circle, Graphics y Show. En ella también hemos aprovechado DisplayFunction, RGBColor, AspectRatio y Axes. Por último, hemos calculado la integral doble con la orden Integrate y simplificamos el resultado mediante Simplify. De esta forma hemos conseguido la mitad del volumen. El volumen total se obtiene multiplicando el resultado anterior (%) por dos.