Mathematica (eta IV)

Artikulu honekin amaitutzat emango dugu Mathematica programaren sarrera gisa antolatu dugun adibide-sorta hau. Ariketak kalkulu matematikoaren arlora mugatu baditugu ere, gogoratu matrizeak erabiltzeko, ekuazio sistemak ebazteko eta beste hainbat gauzetarako ere tresna egokia dela Mathematica. Baliokoak izango zitzaizkizulakoan, hona hemen azken adibidea.

4. Bi gainazalek mugatutako bolumena

  • Enuntziatua

Espazioan bi gainazalek mugatzen duten bolumena kalkulatuko dugu oraingoan. Horretarako, integral bikoitza erabiliko dugu. Integralen mugak zehazteko, gainazalen proiekzioak ikuspuntu desberdinetatik irudikatuko ditugu.

  • Ebazpenaren urratsak

Lehendabizi, funtzioaren mutur arruntak kalkulatuko ditugu, gero, mutur baldintzatuekin alderatu ahal izateko. Mutur baldintzatuak Lagrange-ren biderkatzaileen metodoa erabiliz kalkulatuko ditugu.

  • Erabiliko diren aginduak
  1. ParametricPlot3D: hiru dimentsioko grafikoa egiten du ekuazio parametrikoetatik abiatuta. Funtzio bezala adierazi ezin diren gainazalak irudikatzeko erabiltzen da.
  2. ViewPoint: hiru dimentsioko irudia ikuspuntu jakin batetik bistaratzen du.
  3. DisplayFunction: grafikoa bistaratzeko edo ezkutuan mantentzeko aukera da.
  4. Show: osagai grafikoak bistaratuko ditu.
  5. Graphics: ematen zaion datua irudika daitekeen elementu bihurtuko du.
  6. Circle: zentroa eta erradioa emanez, zirkunferentzia irudikatzen du.
  7. Disk: zentroa eta erradioa emanez, zirkulua irudikatzen du.
  8. Rectangle: behe-ezker eta goi-eskuin erpinak emanez errektangelua irudikatzen du.
  9. RGBColor: grafiko baten irudiaren kolorea.
  10. Axes: grafikoen ardatzak irudikatu ala ez adierazteko ezaugarria da.
  11. AspecRatio: grafikoaren ardatzen arteko proportzioa adierazteko ezaugarria da.
  12. ViewPoint: hiru dimentsioko irudia ikuspuntu jakin batetik bistaratzen du.
  13. Integrate: integrala kalkulatzen du. Bi aldagai emanez, integral bikoitza kalkulatzen du.
  14. Simplify: adierazpen algebraiko bat sinplifikatzen du.
    %: aurreko emaitzari erreferentzia egiten dio.
  • Ebazpena Mathematica-ren bidez

Ekuazio cartesiarrak:

esfera: x2 + y2 + z2 = 4zilindroa: x2 + y2 - 2y = 0

Ekuazio parametrikoak:

esfera:

x = 2cos[t] cos[v],

zilindroa:

x = 2sin[t] cos[t],
y = 2sin[t] cos[v], y = 2sin[t]2,
z = 2sin[v], z = z

Hiru dimentsioko irudia:

e = ParametricPlot3D[{2cos[t]cos[v], 2sin[t]cos[v], 2sin[v]}, {t,0,2þ}, {v,-þ/2,þ/2}, ViewPointÆ{3,1,1.5}, DisplayFunction Æ Identity]

-Graphics3D-

z = ParametricPlot3D[ {2sin[t]cos[t],2sin[t]2,z}, {t,0,2þ}, {z,-2,2}, ViewPoint Æ {3,1,1.5}, DisplayFunction Æ Identity]

-Graphics3D-

Show[e, z, DisplayFunction: $DisplayFunction]

-Graphics3D-

Goitiko proiekzioa:

gpr=Graphics[{Circle[{0,0},2], {RGBColor[1,0,0], Disk[{1,0},1]}}, Axes Æ True, AspectRatio Æ Automatic]

-Graphics3D-

Show[gpr]

-Graphics3D-

Aurretiko proiekzioa:

apr=Graphics[{{RGBColor[1,0,0], Rectangle[{0,-2},{2,2}]}, Circle[{0,0},2]}, Axes- True, AspectRatio- Automatic]

-Graphics3D-

Show[apr]

-Graphics3D-

Eskuinetiko proiekzioa:

epr=Graphics[{{RGBColor[1,0,0], Rectangle[{-1,-2},{1,2}]}, Circle[{0,0},2]}, Axes Æ True, AspectRatio Æ Automatic]

-Graphics3D-

Show[epr, Axes Æ True]

-Graphics3D-

Integral bikoitza:

Integralen mugak koordenatu cartesiarretan:

y Œ [0, 2],x Œ [-¯ (2 y - y2), ¯ (2 y - y2)]integrakizuna:z = ¯ (4 - x2 - y2).

Integralen mugak koordenatu zilindrikoetan:

t Œ [0,þ],r Œ [0, 2sin[t]],

integrakizuna

z = r * ¯ (4 - r2)

Oharra: muga horiekin bolumenaren goiko erdia soilik kalkulatuko dugu.

Integrate[r*Sqrt[4-r2],{t,0,þ},{r,0,2sin[t]}]
8þ/3 + 4/9 (-4 + 3þ) - 4/9 (4 + 3þ)
Simplify[%]
8/9 (-4 + 3þ)

Hori, bolumenaren goiko erdia da. Beraz, bolumen osoa:

2 * %
16/9 (-4 + 3þ)

  • Iruzkinak

Lehendabizi, hiru dimentsioko irudia egin dugu bolumenaren ideia hartzeko. Horretarako, ohikoak diren ParametricPlot3D eta Show aginduak erabili ditugu eta ikuspuntu estandarra aukeratu dugu ViewPoint ezaugarriaren bidez. Ondoren, bolumenaren hiru proiekzioak, goitikoa, aurretikoa eta eskuinetikoa, irudikatu ditugu Disk, Rectangle, Circle, Graphics eta Show aginduak erabiliz. Bertan ere DisplayFunction, RGBColor, AspectRatio eta Axes aukeretaz baliatu gara. Azkenik, integral bikoitza kalkulatu dugu Integrate aginduarekin eta emaitza sinplifikatu dugu Simplify -ren bidez. Horrela, bolumenaren erdia lortu dugu. Bolumen osoa lortzeko, aurreko emaitza (%) bider bi egin dugu.

Gehitu iruzkin bat

Saioa hasi iruzkinak uzteko.