Catro ou cinco colorees

Cantas cores necesítanse paira pintar un mapa para que dúas rexións contiguas sexan de distintas cores?

Facer mapas de catro colorees non é moi difícil. Pódese demostrar que é suficiente con cinco colorees paira todos os mapas. Pero, é suficiente e necesario utilizar catro colorees?, é dicir, poderíase facer un mapa de cinco colorees?

Figura .

A pesar de que se indicou que os primeiros en utilizar catro colorees eran cartógrafos, parece que o primeiro en explicar a conxectura foi o alumno de Francis Guthrie Edinburgh. El comentouno ao seu irmán, o químico Frederick, quen o fixo saber ao seu profesor de matemáticas Augustus Morgan en 1852. A conxectura fíxose famosa cando o gran matemático Arthur Cayley recoñeceu que en 1878 o tema fora inútil. Enseguida expuxéronse numerosas probas do teorema. Pronto se darían conta de que todos tiñan algún erro.

N. Wiener, creador da cibermática, admitiu que na autobiografía “Ex-Prodigy” atopouse co problema (como todos os matemáticos) e que fracasou. A situación actual do problema (que sabemos) é a seguinte: Comprobouse que se cumpre en todos os mapas que non teñen máis de 38 comarcas. O resultado é escaso. Con todo, tendo en conta que hai máis de 1038 mapas diferentes, parece que non é tan malo. Os computadores actuais tampouco poderían analizar todas as configuracións no tempo adecuado.

Si o problema é atractivo e fascinante é porque parece fácil de demostrar. A ausencia de probas na actualidade é irritante, tendo en conta que teoremas similares demostráronse paira superficies máis complexas. Por exemplo, en superficies unilaterais, a cinta de Möbius, a botella de Klein e o plano proyectivo, demostrouse que o número de cores suficiente e necesario é 6. En Torua esta cifra é de 7. (A esfera é equivalente neste problema ao plano).

Figura .

Paira comprender a dificultade do problema exporémosche un xogo. Poden participar dous ou máis xogadores. O obxectivo é atopar un mapa que requira cinco colorees.

O primeiro xogador representará una rexión.

O segundo pintará a rexión anterior e representará outra

ambas as rexións deben ter un límite común

O seguinte pintará a última rexión e representará a outra (con límite cunha das rexións anteriores).

Hai que seguir así ata que un xogador necesite a quinta cor.

Paira seguir profundando no problema, velaquí outro tres exercicios.

Cantas cores necesítanse paira pintar a figura 1 para que as dúas rexións cun límite común non teñan o mesmo cor?

Supoñamos que se quere pintar a figura 2 con 4 cores. Trátase de pintar cada rexión dunha cor e dúas zonas contiguas de diferente cor. A zona superior ten una superficie de 16 dm2 e o resto de 8 dm2. A pintura está tan vermella como paira encher 24 dm2, a amarela está tan vermella como a vermella, a verde 16 dm2 e a azul está lenta paira cumprir 8 dm2. Como facelo?

Figura .

No balón de fútbol hai 32 rexións: 20 hexagonales e 12 pentagonales. Cantas cores necesítanse paira pintar as 32 comarcas, paira evitar que dúas rexións do mesma cor teñan límites comúns? Catro debe ser suficiente. Proba no balón e non na imaxe.

Figura .

Una vez realizados os “exercicios” anteriores, creemos que serás capaz de comprender a esencia do problema. Desgraciadamente é difícil demostrar que cinco colorees son suficientes paira calquera mapa chairo. Con todo, a demostración do teorema a dúas cores pódese incluír neste artigo.

Consideremos todos os mapas planos que se poden construír utilizando liñas rectas (como o damero). 4a. si tómase o mapa da imaxe non será difícil demostrar que só se necesitan dúas cores paira pintar. Si engadimos una recta a calquera mapa formado por rectas (recta negra da imaxe), a nova recta divide o mapa en dous partes. Cada un polo seu lado estaría ben pintado, pero a ambos os dous lados da recta hai rexións do mesma cor. Paira conseguir una situación óptima bastaría con intercambiar cores no mapa dun lado da recta (4b. Imaxe).

4a. e 4b imaxes.

Si debuxamos outra recta, deberiamos facer o mesmo, é dicir, intercambiaremos as cores do mapa ao carón da recta. O razoamento pódese aplicar a calquera número de rectas e así, mediante a indución matemática, demóstrase que son dúas cores suficientes paira pintar todos os mapas que se poden obter directamente.

Figura .

A demostración pode estenderse a mapas formados por liñas abertas e indefinidas e curvas pechadas sen espiral (Figura 5). Si engádese una liña que atravesa o mapa, as cores das rexións situadas ao carón deben cambiar. Si a curva é pechada, cambiarán as cores das rexións interiores (ou exteriores). Tamén se poden introducir curvas espirales, pero dificúltase o procedemento de recalentamiento.

Hai que ter en conta que neste tipo de mapas todos os vértices son pares, é dicir, crúzanse dúas liñas. Pódese demostrar que a condición suficiente e necesaria paira poder pintar un mapa con dúas cores é que todos os vértices sexan pares.

Por último, e a modo de exercicio, colle un mapa sen pintar e tenta pintar co menor número de cores posible.

Babesleak
Eusko Jaurlaritzako Industria, Merkataritza eta Turismo Saila