Espazioan bi gainazalek mugatzen duten bolumena kalkulatuko dugu oraingoan. Horretarako, integral bikoitza erabiliko dugu. Integralen mugak zehazteko, gainazalen proiekzioak ikuspuntu desberdinetatik irudikatuko ditugu.
Lehendabizi, funtzioaren mutur arruntak kalkulatuko ditugu, gero, mutur baldintzatuekin alderatu ahal izateko. Mutur baldintzatuak Lagrange-ren biderkatzaileen metodoa erabiliz kalkulatuko ditugu.
Ekuazio cartesiarrak:
esfera: x2 + y2 + z2 = 4zilindroa: x2 + y2 - 2y = 0Ekuazio parametrikoak:
esfera: | x = 2cos[t] cos[v], | zilindroa: | x = 2sin[t] cos[t], |
y = 2sin[t] cos[v], | y = 2sin[t]2, | ||
z = 2sin[v], | z = z |
Hiru dimentsioko irudia:
-Graphics3D-
z = ParametricPlot3D[ {2sin[t]cos[t],2sin[t]2,z}, {t,0,2þ}, {z,-2,2}, ViewPoint Æ {3,1,1.5}, DisplayFunction Æ Identity]
-Graphics3D-
Show[e, z, DisplayFunction: $DisplayFunction]
-Graphics3D-
Goitiko proiekzioa:
gpr=Graphics[{Circle[{0,0},2], {RGBColor[1,0,0], Disk[{1,0},1]}}, Axes Æ True, AspectRatio Æ Automatic]
-Graphics3D-
Show[gpr]
-Graphics3D-
Aurretiko proiekzioa:
apr=Graphics[{{RGBColor[1,0,0], Rectangle[{0,-2},{2,2}]}, Circle[{0,0},2]}, Axes- True, AspectRatio- Automatic]
-Graphics3D-
Show[apr]
-Graphics3D-
Eskuinetiko proiekzioa:
epr=Graphics[{{RGBColor[1,0,0], Rectangle[{-1,-2},{1,2}]}, Circle[{0,0},2]}, Axes Æ True, AspectRatio Æ Automatic]
-Graphics3D-
Show[epr, Axes Æ True]
-Graphics3D-
Integral bikoitza:
Integralen mugak koordenatu cartesiarretan:
y Œ [0, 2],x Œ [-¯ (2 y - y2), ¯ (2 y - y2)]integrakizuna:z = ¯ (4 - x2 - y2).Integralen mugak koordenatu zilindrikoetan:
integrakizuna
z = r * ¯ (4 - r2)Oharra: muga horiekin bolumenaren goiko erdia soilik kalkulatuko dugu.
Integrate[r*Sqrt[4-r2],{t,0,þ},{r,0,2sin[t]}]
8þ/3 + 4/9 (-4 + 3þ) - 4/9 (4 + 3þ)
Simplify[%]
8/9 (-4 + 3þ)
Hori, bolumenaren goiko erdia da. Beraz, bolumen osoa:
2 * %
16/9 (-4 + 3þ)
Lehendabizi, hiru dimentsioko irudia egin dugu bolumenaren ideia hartzeko. Horretarako, ohikoak diren ParametricPlot3D eta Show aginduak erabili ditugu eta ikuspuntu estandarra aukeratu dugu ViewPoint ezaugarriaren bidez. Ondoren, bolumenaren hiru proiekzioak, goitikoa, aurretikoa eta eskuinetikoa, irudikatu ditugu Disk, Rectangle, Circle, Graphics eta Show aginduak erabiliz. Bertan ere DisplayFunction, RGBColor, AspectRatio eta Axes aukeretaz baliatu gara. Azkenik, integral bikoitza kalkulatu dugu Integrate aginduarekin eta emaitza sinplifikatu dugu Simplify -ren bidez. Horrela, bolumenaren erdia lortu dugu. Bolumen osoa lortzeko, aurreko emaitza (%) bider bi egin dugu.