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Johann Radon (1887-1956) et idée mathématique
Johann Radon est né en 1887 à Tetschen (Bohême), actuellement Decin, République tchèque. Il a étudié les mathématiques à l'Université de Vienne et, après avoir été professeur dans plusieurs universités allemandes, il est retourné à Vienne en 1947 où il est décédé comme professeur en 1956. Il est connu des mathématiciens, qui a abandonné des travaux importants, en particulier dans la théorie de l'intégration.
Bien qu'il ne soit pas si connu, le résultat qui sous-tend la tomographie se situe à Radon, précédé par un article de 1917. En termes techniques, une version du beau théorème de Radon pourrait s'exprimer comme : une fonction donnée sur le plan peut être récupérée par des intégrales (unidimensionnelle) réalisées sur toutes les droites. Et connaissant ces intégrales, il a également donné une formule pour récupérer la fonction. Sans effrayer davantage le lecteur qui se sent perdu parmi ces termes mathématiques, nous verrons un exemple simple.
Supposons que dans le plan nous avons un ensemble fermé avec deux trous à l'intérieur, comme le montre l'image. Étant hors du plan et en regardant sans obstacles, comme vous le faites lors de la lecture de cette page, vous n'avez aucun problème à voir les trous intérieurs. Mais la fourmi qui vit sur le papier et ne peut pas soulever la tête du papier ne peut décrire que la limite extérieure qui entoure l'ensemble. Comment saura-t-il qu'à l'intérieur il y a deux trous ? De même, s'il y avait un mur à la limite extérieure de l'ensemble, nos yeux ne pouvaient pas voir la partie intérieure et nous serions dans le même état de la fourmi, connaissant l'arête, mais sans aucune information de l'intérieur. En quoi consiste le théorème de Radon ? "Si vous me donnez la longueur de chaque ligne droite en coupant l'ensemble, je vais définir complètement l'ensemble" nous dit Radon, car il permet de décrire toutes les limites extérieures et intérieures. (Prenant sur l'ensemble une fonction qui vaut 1 et dehors et 0 dans les trous, l'intégrale sur une droite est la longueur indiquée.) Nous avons modifié le problème, nous aurions maintenant besoin de longueurs de coupe, mais il semble que pour calculer les longueurs il faut connaître l'intérieur. Sommes-nous sur une roue folle ?
Allan Cormack (1924-1998) et la solution théorique
Allan Cormack est né à Johannesburg (Afrique du Sud) en 1924, fils de fonctionnaires écossais. Il a commencé ses études d'ingénierie à l'Université du Cap, mais a finalement décidé de passer à la physique. Au cours de sa thèse de doctorat au prestigieux Laboratoire Cavendish de Cambridge, il a étudié une offre universitaire et est retourné en Afrique du Sud avant de terminer la thèse. Des années plus tard, il a déménagé à l'Université de Harvard pour entreprendre des recherches et est finalement resté aux États-Unis comme professeur et chercheur à l'Université de Tufts (Massachusetts).
Selon lui, même si l'intérêt pour développer la tomodensitométrie s'est réveillé pendant son séjour en Afrique du Sud, il a dû travailler en Amérique la physique nucléaire et la physique des particules, et n'a eu qu'occasionnellement l'occasion d'analyser le problème de la tomographie. Cependant, son travail a été fructueux et il a exposé dans deux articles publiés en 1963 et 1964 la base théorique de la tomographie.
Regardez une partie de votre corps, comme le genou. Vous le voyez de l'extérieur, mais pas de l'intérieur. Supposons qu'un plan imaginaire vous traverse le genou et vous êtes dans la même situation que l'exemple de la section précédente, c'est-à-dire que la coupe génère une image plate et que vous ne voyez que la ligne extérieure, vous ne savez pas quelle est la structure interne. Si nous pouvions calculer "intégrales"! Cormack a vite compris qu'il s'agissait d'un problème mathématique qu'il gagnerait s'il obtenait une voie pratique de calcul. Il a trouvé une réponse aux rayons X.
Les rayons X ont été découverts par Röntgen en 1895 et a été considéré comme un type de rayonnement électromagnétique de moins longueur d'onde que la lumière. Étant donné sa propriété de traverser plusieurs objets opaques à la lumière, on a détecté la possibilité d'obtenir des "photos" spéciales qui ont donné lieu aux radiographies si utilisées par les médecins. Mais comme sur les photos, les objets trouvés sur différents plans devraient apparaître entre eux sur les rayons X, de sorte que la précédente cache l'arrière. La technique de la tomographie est complètement différente, car, comme son nom l'indique, chaque image montre une coupe (tomos, grec), évitant les superpositions.
Les rayons X se propagent sur des lignes droites et perdent de l'intensité sur le chemin. Étant cette perte proportionnelle à l'intensité, la longueur du parcours et la densité du milieu, une équation mathématique nous indique que pour obtenir l'intégrale de la densité il suffit de connaître les intensités d'entrée et de sortie. Comme les mesures sont effectuées à l'extérieur, Cormack nous a inventé un chemin qui rendrait possible l'intégrale que nous avons demandé plus haut sans voir l'intérieur. De là, les mathématiques avaient besoin de plus d'investissement pour connaître la fonction ou de faire l'image d'une manière plus pratique. En outre, dans le monde réel, il n'est pas possible de réaliser toutes les intégrales exigées par la théorie, car ils apparaissent intégrales infinies et les méthodes d'approche doivent également être demandés aux mathématiques.
Face à l'évidente révolution que pouvait supposer la proposition de Cormack, pourquoi n'a-t-elle pas eu lieu immédiatement et un outil de création d'images a été construit? Il n'y a pas de réponses claires, mais il semble que la capacité des ordinateurs d'alors n'était pas suffisante pour effectuer tous les calculs nécessaires. Ainsi, après la publication des articles, Cormack a abandonné le sujet pour le reprendre quand dix ans plus tard son invention est devenue réalité.
Godfrey Hounsfield (1919) et premières machines
Godfrey Hounsfield est né dans le comté anglais de Nottinghamshire en 1919. La Seconde Guerre mondiale a eu lieu dans l'armée de l'air, en particulier dans les radars et les radiocommunications. Après la guerre, il a étudié l'ingénierie électrique à Londres et en 1951, il a rejoint l'entreprise EMI (Electric and Musical Industries), connue pour nous comme discographique. Malgré les débuts des ordinateurs, Hounsfield s'en proposa bientôt et en 1958, il construisit le premier ordinateur britannique transistor avec son équipe (EMIDEC 1100).
Des années plus tard, après avoir invité un projet dans lequel il travaillait, il a été libéré pour étudier de nouveaux domaines et a proposé de travailler la reconnaissance automatique des formes. Dans cette optique, il a développé l'idée de base de l'OTA en 1967 et l'a brevetée l'année suivante. Quatre ans plus tard, la première machine (EMI-Scanner) a été construite.
Comme mentionné précédemment, il n’est pas possible d’effectuer des mesures (c’est-à-dire “intégrales”) sur toutes les droites. En sélectionnant certaines directions d'un plan et en émettant des rayons parallèles, l'intensité est mesurée par des capteurs de verre situés de l'autre côté. Les données obtenues sont prises par l'ordinateur et, en résolvant beaucoup d'équations, offre une image approximative de l'intersection du plan sur le corps. Le processus est répété avec un peu de mouvement du plan et finalement la structure interne du corps est apprécié en visualisant des images de coupures successives. Ce que nous avons dit en quelques mots signifie surmonter de nombreux obstacles théoriques et pratiques pour rendre l'image que donne la machine fiable. En plus des connaissances techniques, Hounsfield est une reconnaissance à l'imagination et à l'intuition. Sans utiliser les méthodes de mathématiques et la capacité de calcul des ordinateurs, il n'aurait pas été possible de saisir cette invention.
Allan Cormack et Godfrey Hounsfield ont remporté le prix Nobel de médecine et de physiologie 1979 pour leur tomodensitométrie. Dès lors, la technique a évolué et les outils se sont améliorés ; si des rayons parallèles étaient initialement utilisés, des faisceaux de rayons sont maintenant émis à partir de plusieurs points. En outre, la croissance de la capacité de calcul des ordinateurs a également été positive. Cela nous amène à penser que chaque fois avec des mesures sur plus de lignes droites vous obtenez une meilleure image. Cependant, la pratique a une limite: la santé des êtres vivants. Vous ne pouvez pas faire circuler des rayons à travers le corps, car il y a un risque de causer de grands dommages. Dans tous les cas, l'OTA a obtenu un grand succès et est largement utilisé, non seulement dans le domaine médical.
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