Matematika medikuaren laguntzaile

Duoandikoetxea Zuazo, Javier

EHUko matematika irakaslea

Giza gorputzaren barrualdea ikustea laguntza handia da medikuarentzat. Ahal dela gaixoaren gorputza ireki gabe egitea izango litzateke onena, gainera. Horregatik oso garrantzitsuak izan dira gorputz barruko irudiak lortzeko garatu diren teknikak. Horietako bat, ordenagailu bidezko tomografia axiala deitzen da, OTA labur esanda, edo eskanerra, gehienetan esaten den moduan. Hogeita hamar urte bete barik dituen teknika honen oinarrian Matematika dago.

Johann Radon (1887-1956) eta ideia matematikoa

Bohemiako Tetschen herrian (gaur egun Decin, Txekiar Errepublikan) jaio zen 1887an Johann Radon. Vienako Unibertsitatean egin zituen Matematika-ikasketak eta Alemaniako zenbait unibertsitatetan irakasle izan ondoren Vienakora itzuli zen 1947an, eta bertako irakasle zela hil zen 1956an. Matematikarien artean ezaguna da, garrantzizko lanak utzi baitzituen, integrazioaren teorian bereziki.

Hain lan ezaguna ez bada ere, tomografiaren oinarrian dagoen emaitzak Radonen 1917ko artikulu bat du aitzindari. Hitz teknikoak erabiliz, honela adieraz genezake Radonen teorema ederraren bertsio bat: planoan emandako funtzio bat zuzen guztien gainean egindako (dimentsio bateko) integralen bitartez berreskura daiteke. Eta integral horiek ezagututa funtzioa berreskuratzeko formula ere eman zuen artikuluan. Termino matematiko hauen artean galduta sentitzen den irakurlea gehiago beldurtu barik, adibide erraz bat ikusiko dugu.

Demagun planoan multzo itxi bat dugula eta barruan zulo bi dituela, irudiak erakusten duen bezala. Planotik kanpo egonez eta bitarteko oztopo barik begiratuz, orrialde hau irakurtzean egiten duzun bezala, ez duzu barruko zuloak ikusteko arazorik. Baina paperaren gainean bizi eta burua paperetik altxatu ezinik dagoen inurriak multzoa inguratzen duen kanpoko muga bakarrik deskriba dezake. Zelan jakingo du barruan zulo bi daudela? Modu berean, multzoaren kanpoko mugan horma bat balego, gure begiek ezingo lukete barruko aldea ikusi eta inurriaren egoera berberean egongo ginateke, ertza ezagutu bai, baina barrualdeko batere informaziorik gabe. Zertan da Radonen teorema lagungarri? "Lerro zuzen bakoitzak multzoa ebakitzean ematen duen luzera ematen badidazue, multzoa erabat zehaztuko dizuet" esaten digu Radonek, kanpoko eta barruko muga guztiak deskribatzeko bidea ematen baitu. (Multzoaren gainean 1 eta kanpoan eta zuloetan 0 balio duen funtzioa hartuta, zuzen baten gaineko integrala aipatutako luzera da.) Problema aldatu egin dugu, ebaketen luzerak beharko genituzke orain; hala ere, luzerak kalkulatzeko barrua ezagutu behar dela ematen du. Gurpil zoroan ote gaude?

Allan Cormack (1924-1998) eta irtenbide teorikoa

Allan Cormack Johannesburgon (Hego Afrika) jaio zen 1924an, eskoziar funtzionarioen seme. Lurmutur Hiriko Unibertsitatean Ingeniaritza-ikasketak hasi zituen, baina azkenean Fisikara aldatzea erabaki zuen. Cambridgeko Cavendish Laborategi ezagunean doktore-tesia egiten ari zela, ikasle izan zen unibertsitateko eskaintza bat onartu eta tesia amaitu aurretik Hego Afrikara itzuli zen irakasle-postu batera. Urte batzuk geroago Harvard Unibertsitatera joan zen ikerketa egitera eta, azkenik, betiko gelditu zen Estatu Batuetan, Tufts Unibertsitateko (Massachussets) irakasle eta ikertzaile modura.

Berak kontatzen duenez, ordenagailu bidezko tomografia garatzeko interesa Hego Afrikan zegoen bitartean piztu bazitzaion ere, Amerikan Fisika nuklearra eta Partikulen Fisika landu behar izan zituen hasieran eta tarteka bakarrik izan zuen tomografiaren arazoa aztertzeko abagunea. Hala ere, haren lana emankorra izan zen eta 1963 eta 1964an argitaratutako artikulu bitan delako tomografiaren oinarri teorikoa azaldu zuen.

Begira iezaiozu zure gorputzeko atal bati, belaunari adibidez. Kanpotik ikusten duzu, baina ez barrutik. Demagun alegiazko plano batek zeharkatzen dizula belauna eta hona non zauden aurreko ataleko adibideak erakusten duen egoera berean, hots, ebaketak irudi laua sortzen du eta kanpoko lerroa baino ez duzu ikusten, ez dakizu barruko egitura zein den. "Integralak" kalkulatzeko modurik izango bagenu! Cormackek berehala ulertu zuen problema matematikoa zela eta kalkulatzeko bide praktiko bat lortuz gero irabaziko zuela. X izpietan aurkitu zuen erantzuna.

X izpiak Röntgenek aurkitu zituen 1895ean eta argiak baino uhin-luzera txikiagoa duen erradiazio elektromagnetikoko mota bat zela erabaki zuen. Argiarentzat opakoak diren zenbait objektu zeharkatzeko propietatea dutela ikusirik, "argazki" berezi batzuk lortzeko modua antzeman zen eta horrela sortu ziren medikuek hain erabiliak dituzten erradiografiak. Baina argazkietan gertatzen den bezala, plano desberdinetan dauden objektuak elkarren gainean agertu beharko lukete erradiografietan eta horrexegatik aurrekoak atzekoa ezkutatu egiten du. Erabat desberdina da tomografiaren teknika; izenak berak adierazten duen bezala, irudi bakoitzak ebakidura bat (tómos, grekoz) erakusten baitu, gainezarmenak saihestuz.

X izpiak lerro zuzenetan hedatzen dira eta bidean intentsitatea galtzen dute. Galera hau intentsitatearen, ibilbidearen luzeraren eta ingurunearen dentsitatearekiko proportzionala izanik, ekuazio matematiko batek honakoa esaten digu dentsitatearen integrala lortzeko: nahikoa dela sarrera- eta irteera-intentsitateak ezagutzea. Neurketak kanpoan egiten direnez, barrua ikusi barik gorago eskatzen genuen integrala posible egingo lukeen bidea asmatu digu Cormackek. Hortik aurrera Matematika gehiago behar zuen inbertsioa eginda funtzioa ezagutzeko edo, modu praktikoagoan esanez, irudia egiteko. Gainera mundu errealean teoriak eskatzen dituen integral guztiak egiterik ez dago, infinitu integral agertzen baitira, eta hurbiltze-metodoak ere Matematikari eskatu behar zaizkio.

Cormacken proposamenak ekar zezakeen iraultza bistakoa izanik, zergatik ez zen berehala gauzatu eta irudiak egingo zituen tresna eraiki? Ez dago erantzun argirik, baina, antza denez, behar ziren kalkulu guztiak egiteko orduko ordenagailuen ahalmena ez zela nahikoa pentsa daiteke. Horregatik, artikuluak argitaratu ondoren Cormackek alde batera utzi zuen gaia, berriro gogoz hartzeko hamar bat urte geroago bere asmakuntza beste batzuk errealitate bihurtu zutenean.

Godfrey Hounsfield (1919- ) eta lehen makinak

Godfrey Hounsfield Ingalaterrako Nottinghamshire konderrian jaio zen 1919an. Bigarren Mundu Gerra Aireko Armadan egin zuen, radar eta irrati-komunikazioetan batez ere. Gerra amaituta Ingeniaritza elektrikoa ikasi zuen Londresen eta 1951n guretzat diskoetxe gisa ezaguna den EMI (Electric and Musical Industries) enpresan hasi zen lanean. Ordenagailuak hastapenetan zeuden arren, Hounsfieldek berehala izan zuen gai horretarako joera eta 1958an bere taldearekin transistorez zebilen Britainia Handiko lehen ordenagailua eraiki zuen (EMIDEC 1100).

Urte batzuk geroago, lanean ari zen proiektu bat bideraezin suertatu ondoren, arlo berriak aztertzeko askatasuna eman zioten eta formen ezagutze automatikoa lantzea proposatu zuen. Horretan ari zela, 1967an garatu zuen OTAren oinarrizko ideia eta hurrengo urtean patentatu egin zuen. Lau urte geroago lehen makina (EMI-Scanner) eraiki zen.

Lehentxeago aipatu dugunez, praktikan ez dago zuzen guztien gainean neurketak (hau da, "integralak") egiterik. Plano bateko norabide batzuk aukeratu eta izpi paraleloak igorriz, beste aldean jarritako kristalezko sentsore batzuen bidez intentsitatea neurtzen da. Lortutako datuak ordenagailuak hartzen ditu eta ekuazio pilo bat ebatziz, planoak gorputzean eragiten duen ebaketaren irudi hurbildua eskaintzen du. Planoa pixka bat mugituz errepikatzen da prozesua eta azkenean elkarren ondoko ebaketen irudiak ikusiz gorputzaren barneko egiturari antzematen zaio. Berba gutxitan esan dugun hau gauzatzeko, oztopo teoriko eta praktiko asko gainditu behar dira makinak ematen duen irudia fidagarria izan dadin. Ezagutza teknikoaz gain irudimena eta intuizioa aitortzen zaizkio Hounsfielden lanari. Matematikaren metodoak eta ordenagailuen kalkulu-ahalmena erabili gabe ezinezkoa izango zen asmakuntza hau bideratzea.

Allan Cormackek eta Godfrey Hounsfieldek batera eskuratu zuten 1979ko Medikuntza eta Fisiologiako Nobel saria ordenagailu bidezko tomografia posible egiteagatik. Harrezkero teknikak aurrera egin du eta tresnak hobetu egin dira; hasieran izpi paraleloak erabiltzen baziren, orain zenbait puntutatik izpi-sortak igortzen dira. Bestalde, ordenagailuen kalkulu-ahalmenak izan duen hazkundea ere onerako izan da, jakina. Honek, gero eta lerro zuzen gehiagotan neurketak eginda irudi hobea ateratzea dakarrela pentsaraziko digu. Hala ere, praktikak muga bat du: izaki bizidunen osasuna, hain zuzen ere. Ezin dira zenbatgura izpi igaroarazi gorputzean zehar, kalte handiak sortzeko arriskua baitago. Edozelan ere, arrakasta itzela lortu du OTAk eta erruz erabiltzen da, ez medikuntza alorretan bakarrik.

Gehitu iruzkin bat

Saioa hasi iruzkinak uzteko.

Babesleak
Eusko Jaurlaritzako Industria, Merkataritza eta Turismo Saila
MAIER Koop. Elk.
KIDE Koop. Elk.
ULMA Koop. Elk.
EIKA Koop. Elk.
LAGUN ARO Koop. Elk.
FAGOR ELECTRÓNICA Koop. Elk.