Reglamento de uso del abaco chino (II). División
Elhuyar. En el número 43 “Ciencia y Técnica”, en el ábaco chino dimos todas las instrucciones para sumar, restar y multiplicar. En esta ocasión, nos ocuparemos de las normas para realizar la división en el ábaco chino y de las que se necesitan para obtener las raíces cuadradas y cúbicas.
División simple
Es el caso de que el divisor sea menor de 10 y no se utilizará el producto. Utilizaremos las siguientes palabras:
adelantar - subir las bolas en la columna de la izquierda
Normativa
Parte: una parte, adelantar 1; dos partes, adelantar 2; ... ; nueve partes, adelantar 9.
Dos partes: una por dos en la misma columna 5 (sustituir 1a por 5); dos por dos, 1 adelantado; tres por dos (3 = 2+1), 1 adelantado (2/2), dos por tres y (1/2) en la misma columna 5; cuatro por dos, 2 adelantados; ...; nueve por dos (9 = 8+1), 4 adelantados, 8 por nueve y (1/2) en la misma columna.
Dividido por tres:una entre tres en la misma columna, 3 más 1; dos partes en la misma columna, 6 más dos; tres partes tres, 1 adelantadas; cuatro partes (4 = 3 + 1), 1 adelantada (3/3), 3 en la misma columna, más 1 (1/3); ...
Parte cuatro:una dividida por cuatro, 2 en la misma columna, más 2; dos partes planas, 5 en la misma columna; tres partes cuatro, 7 en la misma columna, más 2; cuatro partes cuatro, 1 adelantado;...; nueve partes cuatro (9 = 8 + 1), 2 adelantadas (4/8), 2 en la misma columna, más 2 (1/4).
Parte cinco:una por cinco, 2 en la misma columna; dos por cinco, 4 en la misma columna; tres por cinco, 6 en la misma columna; cuatro por cinco, 8 en la misma columna; cinco por cinco, 1 adelantado; ...; nueve por cinco (9 = 5+4), 1 adelantado (5/5), 8 en la misma columna (4/5).
Dividir seis:una por seis, 1 en la misma columna, más 4; dos partes seis en la misma columna, más 2; tres partes en la misma columna, seis en la misma columna; cuatro partes seis en la misma columna, 6 en la misma columna, más 4; cinco partes seis en la misma columna, 2; seis partes seis, 1 adelantadas; ...; nueve partes seis (9 = 6+3), 1 adelantada en la misma columna 5.
Parte siete:una por siete, 1 en la misma columna, más 3; dos por siete, 2 en la misma columna, más 6; tres partes por siete, 4 en la misma columna, 2; cuatro partes por siete, 5 en la misma columna, más 5; cinco partes por siete, 7 en la misma columna, más 1; seis partes por la misma columna, 8 por 4; siete partes por siete, 1;...; nueve partes por siete (9=7+2), 2), adelantados en la misma columna, 1, 2.
Parte ocho:una por ocho, en la misma columna 1, más 2; dos por ocho, en la misma columna 2, más 4; tres por ocho, en la misma columna 3; cuatro por ocho, en la misma columna 5; cinco por ocho, en la misma columna 6, más 2; seis por ocho, en la misma columna 7, más 4; siete por ocho, en la misma columna 8, más 6; ocho partes ocho, 1 avanzada; nueve partes (9=8+1).
Parte nueve:una entre nueve, 1 en la misma columna, más 1; dos partes nueve, 2 en la misma columna, más 2; tres partes nueve, 3 en la misma columna, más 3; ...; ocho partes nueve, 8 en la misma columna, más 8; nueve partes nueve adelantadas.
Observaciones
Nota 1: Si en la columna de la derecha la bola sube más de 9, no se puede subir esa décima en la columna de la izquierda. Deberá dividirse de memoria.
Al dividir el dividendo se sitúa a la izquierda dejando una columna libre. El divisor se colocará a la derecha.
4/9{ 4 en la misma columna, más 4 en la columna derecha, 9+4 = 13;13/9 = 9+4, (9+3)/9, 1 adelantado en la misma columna 4; 4/9 en la misma columna, más 4 en la columna derecha, 8+4 = 12;12/9 en la columna 12 = 9+3, (9+4)/9; 3 en la misma columna; 3/9, más 3
9/9 avance
Nota 2: Si una vez dividida la última cifra, el cociente no es exacto, la arena quedará en su columna derecha (columna de unidades del dividendo).
Ejercicios:
123456789 : 4 :5 ; 6 ; :7 ; :8 ; :9 ; 3936 : 4 ; 998651 : 7 ; 519256 : 8 ; 125476 : 2
División larga
Es el caso en el que el divisor es mayor de 10.
Esta operación combina división simple, multiplicación y resta. Como antes empezamos por la izquierda.
Regla general:
dividir la primera cifra del dividendo por la primera del divisor.
Situar el cociente parcial en la columna correspondiente y multiplicar por las siguientes cifras del divisor (una a una) y restar los resultados (uno a uno) a las cifras del dividendo
en las columnas correspondientes.
Esta regla general tiene un problema multiplicando un cociente parcial por una cifra del divisor cuando es superior a la cifra del dividendo correspondiente. En este caso al cociente parcial se le resta 1, 2, ..., hasta que el cociente parcial “nuevo” multiplicado por la cifra del divisor inferior a la cifra del dividendo.
número insuficiente en las deducciones, cuando la cifra del dividendo sea inferior al producto de la cifra del dividendo, del cociente parcial y del divisor.
no hay derecho a deducir si en la supresión parcial no tenemos derecho a deducir el cocimiento parcial de las bolas en la columna derecha
Normativa
Las siguientes reglas se deben añadir a las reglas de la división simple y se utilizan cuando las primeras cifras del dividendo y del divisor son iguales, tanto cuando el minuendo es insuficiente como cuando no hay derecho a deducción.
| Una parte: no hay un descuento insuficiente | 9 en la misma columna más 11 quitadas más 1 |
| Dos partes: no hay fiscalmente deducible | 9 en la misma columna más 21 eliminados más 2 |
| Tres partes tres: no hay un descuento insuficiente | 9 en la misma columna más 31, más 3 |
Cuatro partes planas: no hay cuotas de deducción insuficientes |
9 en la misma columna más 41 eliminadas más 4 |
| Cinco partes cinco: no hay fiscalmente deducible | 9 en la misma columna más 51, más 5 |
Seis partes seis:no hay fiscalmente deducible |
9 en la misma columna más 61, más 6 |
Siete partes siete: no hay un descuento insuficiente |
9 en la misma columna más 71, más 7 |
| Ocho trozos ocho: no hay fiscalmente deducible | 9 en la misma columna más 81 eliminados más 8 |
| Nueve partes nueve: no hay un importe de deducción insuficiente | 9 en la misma columna más 91, más 9 |
Ejemplos
1. Ejemplo: 102816 : 136
Si realizamos 1/1 = 1 nos quedaríamos sin deducciones para poder eliminar 1.3 (00 - 1.3). Por tanto, según las normas, debemos escribir 9 en la misma columna y 1 en la derecha.
Si realizamos 9/1 = 9, la diferencia que tenemos sería menor que 12, 9.3, es decir, el minuendo no es suficiente. Por lo tanto, al cociente 9 restaremos 1 y lo colocaremos en la columna de la derecha.
Haciendo 8/1 = 8 tendríamos el problema anterior. Por tanto, al cociente 8, quitamos 1 y lo colocamos en la columna de la derecha.
7/1 = 7; 7.3 = 21. Como el minuendo ahora es 32, 32 - 21 = 11
7.6 = 42, el minuendo ahora es 118. Luego de 118 a 42 = 76.
Aquí la primera división parcial
Haciendo 7/1 = 7 o 7/1 = 6, el minuendo sería demasiado pequeño para poder eliminar 7.3 o 6.3.
7/1 = 5; 5.3 = 15 el minuendo es 26, 26 - 15 = 11
5.6 = 30, deducible 111. Por lo tanto 111 - 30 = 81
8/1 = 6 por causas anteriores, ya que la deducción es insuficiente.
6.3 = 18, siendo el minuendo 21, 21 - 18 = 3
6.6 = 36, 36. Así, de 36 a 36 = 0. Cociente 756.
Observaciones
Aunque en cada columna hay 7 (2/5) bolas, se suelen indicar hasta 9 puntos. Si en algunos cálculos intermedios hay que indicar más de 9 puntos en la misma columna (16 en el ejemplo 3 en el segundo paso y 12 en el octavo), se pueden dar valores especiales a las bolas para conseguir esa cantidad (10 en el caso de 16 en las bolas superiores y 2 en las inferiores (16 = 1.10+3.2) en el caso 12, 5 y 1, pero usando más bolas (12 = 2.5 + 2.1).
Para diferenciar el cociente de las divisiones del resto, o de la décima, hay que saber dónde quedan las unidades del cociente: si el divisor tiene una cifra, las unidades del cociente quedarán en la primera columna de la izquierda de las unidades del dividendo; si el divisor tiene dos cifras en la segunda columna de la izquierda de las unidades, si tiene tres en la tercera columna; etc.
Ejercicios:
1386 : 21; 6473 : 37 ; 749653 : 721 ; 563217 : 721 ; 150475 : 5122 ; 4820805 : 62413 : 344,40 : 28 ; 8383,20 : 65
Zu idazle
Zientzia aldizkaria
