Ecuacións diferenciais en busca de estabilidade

Alberdi Celaya, Elisabete

Matematikan lizentziatua eta doktoregaia

A estabilidade é un tesouro prezado. A vida é una procura constante de estabilidade: procura dun traballo fixo, dunha relación forte e longa, etc. Aínda que sexan variables, adóitase denominar estable a aquel que se atopa dentro de parámetros que non presentan cambios bruscos. Sinónimo de aburrimento paira algúns, un tesouro desexado en xeral.
Ecuacións diferenciais en busca de estabilidade
01/11/2009 | Alberdi Celaya, Elisabete | Matematikan licenciado eta doctorando

(Foto: ©Fotolia)
Tamén en matemáticas hai disciplinas nas que a estabilidade é fundamental. Os que queremos fixarnos teñen cabida nos programas das carreiras científicas e técnicas, utilízanse na formulación de modelos matemáticos e paira algúns se busca un resultado analítico, mentres que outros se resolven con métodos numéricos --aproximacións - e co computador como acompañante. A algúns alumnos gústalles, pero á maioría cáusanlles quebradizos de cabeza. Que son? Son ecuacións diferenciais. As ecuacións diferenciais, do mesmo xeito que o ser humano na vida, buscan o maior campo de estabilidade posible.

Utilidade das ecuacións diferenciais

Un modelo matemático é un dispositivo que describe un sistema ou suceso da vida. A formulación dun modelo matemático comeza coa identificación das variables que inflúen no sistema, é dicir, producen un cambio no sistema. A continuación establécense hipóteses razoables sobre o sistema, identificando as leis empíricas aplicables. Algunhas destas hipóteses indican a medida da variación dalgunhas das variables previamente definidas. O enunciado matemático destas hipóteses será una ecuación ou un sistema de ecuacións no que aparezan as derivadas, que é o sistema de ecuacións diferenciais.

A súa resolución concreta permitiranos coñecer o comportamento do sistema. Pero, de que falamos cando falamos de modelo ou modelo matemático?

Na cinética das reaccións químicas interesa a súa evolución ao longo do tempo. Ao ser as velocidades derivadas do tempo de calquera variable, a cinética das reaccións se modeliza mediante ecuacións diferenciais. Exemplo diso é o caso de que ambas as sustancias xeran un terceiro. As variables son concentracións de sustancias, mentres que as leis empíricas son a lei de acción de masas e a lei de conservación de masas. A primeira dinos que o produto das concentracións dos reactivos é proporcional ao produto das concentracións dos produtos, e as segundas, a suma das masas dos reactivos é igual á dos produtos.

Na refrixeración dos corpos tamén se utilizan ecuacións diferenciais. Por exemplo, se sacamos un pastel do forno a 150ºC e queremos saber a súa temperatura en calquera momento. Se estamos a investigar o homicidio ou o asasinato dunha persoa e queremos calcular a que hora morreu, utilizaremos a lei de refrixeración de Newton. Esta lei establece que o cambio de temperatura da superficie corporal é proporcional á diferenza entre a temperatura corporal e a temperatura ambiente. Así, se a temperatura do corpo no instante t é e ( t ) e a temperatura no medio T, segundo a lei de Newton, cumprirase a seguinte ecuación diferencial:

sendo k 0 a proporcionalidade constante.

Queremos calcular os intereses que nos dará una cantidade de diñeiro que ingresamos no banco? Deberemos utilizar ecuacións diferenciais. Supoñamos que introducimos no banco a cantidade D 0 e págannos un tipo de interese r. Chamaremos D ( t ) á cantidade que teremos dentro de t anos. A variación da cantidade será a suma da variación por acumulación de intereses e a variación de ingresos que realizamos no banco, p de fórmula.

Hai, por tanto, que modelar na vida cotiá utilizando ecuacións diferenciais.

Dificultades de resolución

Distribución dos autovalores nun plano complexo. Á dereita da liña verde, a ecuación diferencial é inestable e á esquerda estable. A zona rosa é a zona de estabilidade dun método. As estrelas rosas atópanse na zona de estabilidade, mentres que as verdes, multiplicadas por un número, trasladámolas á zona (amarelas). Graf. : Elisabete Alberdi.

Una vez obtida a ecuación diferencial débese resolver. En ocasións, non é posible a súa liberación analítica, e mediante métodos numéricos obtense un resultado aproximado. As ecuacións diferenciais inclúen uns autovalores complexos que denominaremos l. Cando a parte real destes autovalores é positiva, a ecuación diferencial é inestable e o resultado aproximado que obteriamos utilizando un método numérico paira a súa liberación non ten por que parecerse á solución real, xa que un pequeno cambio ten un forte impacto neles. Por iso, os métodos numéricos aplícanse a ecuacións diferenciais estables, autobalioides de parte real negativa. Por outra banda, o propio método tamén ten una zona de estabilidade. E si quérese conseguir un bo resultado, os autovalores deben situarse alí. Por tanto, os autovalores das ecuacións diferenciais estables non presentes nesta zona trasládanse á zona de estabilidade, multiplicando os autovalores por un número h medido (0,1) que denominaremos medida do paso.

A medida do paso é fundamental paira resolver a ecuación e, por suposto, non pode ser calquera número. En termos de fiabilidade, o método de resolución debe ser o suficientemente pequeno como paira manterse dentro da zona de estabilidade e o suficientemente grande como paira dar o menor número de pasos posibles de face ao traballo. Como conseguir ese equilibrio?

Equilibrio da área de estabilidade

Paira saber que pasos pódense dar no método numérico hai que fixarse no erro. Ao utilizar métodos numéricos xérase un erro local en cada paso. Pero hai outro erro que aparece na lonxitude, que é a reprodución dos erros de cada paso, e que está formado polas potencias dun número chamado factor de amplificación. Paira evitar o aumento do erro, o factor de amplificación debe ser menor que a unidade. A zona que cumpre esta condición é a coñecida como zona de estabilidade do método. Pois ben, o autovalor l debe estar na zona de estabilidade tras multiplicarse por h para que o factor de amplificación sexa menor que a unidade. Pero non só iso, una vez que o produto l .h atópase na zona de estabilidade, vese si o número h debe ser menor, xa que calquera número que sexa menor que h que atopamos fai posible que despois de multiplicar o autovalor leve á zona. Dos números que permiten levar o autovalor ao campo, o número h que mantén o erro local dentro de una tolerancia é o que se elixe como medida do paso. Esta medida de paso permite ter controlados os dous erros (local e longitudinal). Canto maior sexa este número, maior será o número de pasos que poderemos dar e máis rápido será o resultado, un obxectivo que o gran campo de estabilidade permite alcanzar.

Cando a zona de estabilidade é elevada, poderanse utilizar medidas maiores do paso h paira levar os autovalores á zona, é dicir, poderanse dar pasos maiores a través do método. Nas pequenas áreas de estabilidade débense dar pequenos pasos cando os autovalores son grandes. Ed. : ©Fotolia.
Pero a medida da zona de estabilidade tamén está condicionada. Depende da orde. A orde é o parámetro que se utiliza paira medir a precisión do método e é máis preciso canto máis alto é a orde. Normalmente, a medida que aumenta a orde, a zona de estabilidade diminúe. Isto obríganos a dar pasos menores, aínda que o resultado sexa máis preciso.

O propio método tamén condiciona a medida da zona de estabilidade. Os métodos implícitos adoitan ter unha área de estabilidade maior que os explícitos, pero tamén presentan desvantaxes: a principal é que se requiren operacións máis ou menos complexas que nos métodos explícitos. Por iso, cando os autovalores non son moi grandes, prefírese o método explícito, xa que as operacións a realizar serán máis sustentables.

O soño sería atopar a máxima estabilidade en ordes altas e métodos explícitos, pero tampouco neste campo da ciencia hai rareza. Co fin de conseguir que as ecuacións diferenciais sóltense facilmente por métodos numéricos, son numerosos os traballos realizados paira aumentar o campo de estabilidade. Os primeiros son os métodos de Adams Bashforth e Moulton, nos que se utiliza tanto a información do último paso como a información doutros pasos máis rápidos paira construír o seguinte paso. Desta forma conseguiuse subir a orde do método numérico, e o de orde 1 ten un campo maior que o de Euler explícito (tamén de orde 1). Una das propostas máis importantes foi a denominada BDF (fórmula backward differentiation) realizada por Gear cara a 1971, un método implícito que utilizaba información en varios pasos máis lixeiros. O método BDF conseguiu que as zonas de estabilidade fosen tamén importantes en ordes elevadas. Ultimamente predominan os métodos que utilizan a derivada 2 ou os chamados puntos de superfuturo, xa que teñen grandes áreas de estabilidade, aínda que incrementan o traballo a realizar en cada paso.

Á esquerda, Adams Bashforth-Moulton PEZ (Predict Evaluate Correctate Evaluate), campo de estabilidade do método explícito paira diferentes ordes. Neste caso, a área de estabilidade é o interior das liñas. Á dereita, a zona de estabilidade dos métodos implícitos denominados FMI paira diferentes ordes, sendo a zona exterior das liñas a zona de estabilidade. Paira indicar a orde utilizouse a letra k. En ambos os casos, a medida que aumenta a orde, a zona de estabilidade diminúe. Graf. : Elisabete Alberdi.

Moitos pequenos pasos ou poucos grandes pasos, aí está a clave. Nesta competencia, a primeira opción, con moitos pequenos pasos, ten a vantaxe da fiabilidade e a segunda a optimización do traballo. Unificar ambas as opcións nunha soa ocasión sería excelente, xa que se conseguiría "fiabilidade sen traballo excesivo". A clave paira romper este equilibrio radica en métodos de gran campo de estabilidade, que non pon límites tan ríxidos á medida do paso. Por iso é posible dar pasos non tan fiables e grandes pasos fiables.

Ecuacións diferenciais e métodos numéricos en historia
Historia das ecuacións diferenciais XVII. Comezou a finais do século XX con obras de Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Grazas ao desenvolvemento da mecánica, a física e o electromagnetismo, as ecuacións diferenciais convertéronse nunha ferramenta moi útil paira describir os fenómenos naturais. Pero XIX. Até o século XIX a cuestión que os científicos manexaron foi buscar solucións explícitas a estas ecuacións diferenciais. Nesa época atópanse Leonhard Paul Euler (1707-1783), Daniel Bernoulli (1700-1782), Jean lle Rond d'Alembert (1717-1783), Joseph Louis Lagrange (1736-1813) e Pierre Simon de Laplace (1749-1827).
Dous pasos do método de Euler explícito e implícito. No explícito dáse o paso movéndose pola recta tangente do punto anterior (t1,y1) paira obter o punto (t2,y2). Implicitamente, búscase o punto t=t2 en directo (t2,y2), de maneira que a recta tangente (t1,y1) pase polo punto. Graf. : Elisabete Alberdi.
Nos casos máis simples, o resultado obtíñase integrando a ecuación diferencial, pero non sempre era fácil ou non era posible atopar a solución analítica. Por iso, en 1760, Euler foi quen propuxo a primeira aproximación numérica paira liberar ecuacións diferenciais. A idea na que se baseaba este método numérico era moi sinxela: o intervalo no que se debía atopar o resultado divídese en subgrupos de tamaño h, sendo h o tamaño do paso. Paira dar o paso 1 coñécese o valor inicial do primeiro tramo e calcúlase o valor final do tramo movendo pola recta tangente do punto inicial, é dicir: e n+1 = e n + hf ( t n , e n ) .
Zonas de estabilidade dos métodos de Euler pintadas de rosa. Obsérvase que a área de estabilidade do implícito é maior que a do explícito. Graf. : Elisabete Alberdi.
Paira dar o paso 2 coñécese o valor inicial do tramo 2 e repítese o procedemento anterior. Así en todos os pasos. Este método é explícito xa que utiliza os datos do paso anterior paira atopar o seguinte valor. Con todo, dado que o campo de estabilidade deste método é pequeno, os autovalores que non estaban na zona debían multiplicarse por un número moi pequeno h para que entrasen na zona. Por iso, un cambio no método é o coñecido como método implícito de Euler, no que o punto final do rango calcúlase de forma que a recta tangente pase polo seu punto inicial intermedio: e n+1 = e n + hf ( t n+1 , e n+1 ). Este método é implícito porque no cálculo dun descoñecido aparece o mesmo descoñecido.
Resultado da ecuación diferencial de valor inicial e' = -50(e-cost), e(0) = 0: en azul, o resultado analítico, e os resultados obtidos mediante a aplicación de diferentes pasos ao método implícito ou explícito de Euler nas cores indicadas. O método implícito de Euler, grazas á súa maior área de estabilidade, require poucos pasos para que o resultado aproximado sexa similar ao resultado analítico. GraF. : Elisabete Alberdi.
En ambos os casos, o resultado constrúese paso a paso e a posibilidade de dar pasos maiores permite obter resultados máis rápidos. A vantaxe do método implícito de Euler é que ten una maior zona de estabilidade, xa que se poden utilizar números maiores paira levar os autovalores á zona.
Alberdi Celaya, Elisabete
Servizos
258
2009
Resultados
022
Matemáticas
Libre
Formación
Babesleak
Eusko Jaurlaritzako Industria, Merkataritza eta Turismo Saila