Paradoxos (e II)

E é que é lóxico quitarse a barba a si mesmo, pero si aférrase a si mesmo non cumpre a condición paira poder afeitarse. E si non se quita a barba, segundo a condición, debería quitarse a barba. Non é un problema de barbeiro. Que debe facer?.

Paradoxo publicado polo filósofo inglés Bertrand Russell en 1918. En palabras humildes, no pobo hai dous tipos de persoas: as que se afeitan e non se quitan. A pregunta real é de que grupo é o barbeiro?. A verdade é que o barbeiro non pode existir porque a súa existencia levaríalle a consecuencias contraditorias.

Con todo, a cuestión non é tan sinxela, xa que a estrutura é similar á outra paradoxo de Russell, os conxuntos que son elementos de si mesmo. A esencia deste paradoxo radica en recoñecer que a cada propiedade ou descrición correspóndelle un conxunto. Por exemplo, pódese definir o conxunto de satélites que a Terra tiña fai 100 anos, sendo o seu único elemento a lúa. Con todo, o conxunto de satélites artificiais carece de elementos. Con todo, existe (conxunto baleiro). O paradoxo de Russell refírese a conxuntos que son ou non elementos de si mesmo. Por exemplo, o conxunto de cores do arco iris non é un elemento do conxunto (da súa cabeza), senón un conxunto. Con todo, o conxunto de conxuntos con máis de 10 elementos ten máis de 10 elementos.

É, por tanto, un elemento de si mesmo. Se denominamos conxunto H, o conxunto das aves, h, é o seu elemento; o conxunto dos ríos, i tamén; o dos automóbiles, k; o dos peixes, a; o das letras, l; o das persoas, p; o dos cans, z; o das vacas, b; o das horas, ou; o dos montes, m; o dos teléfonos, t; …, é dicir:

H = {h,i,k,l,p,z,b,ou,m,t,...}

Por tanto, a mesma H ten máis de 10 elementos

H = {h,i,k,l,p,z,b,ou,m,t,H,...}.

Volvamos aos grupos que non se consideran elementos. A pregunta é: é o conxunto de todos os conxuntos que non son elementos de si mesmos? Do mesmo xeito que sucedía co barbeiro, e en palabras humildes, o conxunto de todos os conxuntos que non son elementos de si mesmo non é un elemento de si mesmo, só si é un elemento de si mesmo. Claro, aquí hai contradición.

Paira resolver o caso, Russell rexeitou a idea de que un conxunto correspondía a cada predicado. El dicía que os predicados que producían efectos contraditorios non tiñan significado, xa que non creaban conxuntos. É dicir, definir un conxunto non significa que exista o conxunto. Así, non se pode definir o círculo cadrado, porque son conceptos contraditorios. A resolución de Russell obríganos a deixar conceptos sobre o conxunto e a verdade enraizados na intuición.

Existe outro método paira eliminar a contradición do paradoxo. Un necesita una teoría de conxunto baseada nunha lóxica polivalente e non nunha lóxica válida. Neste sistema a negación perde o seu significado. Por tanto, pódese admitir un conxunto que é un elemento de si mesmo e ao mesmo tempo non é.

Todas as velas son negras?

Ante a gaiola das velas, un ornitólogo afirma:

• Aquí tes dous das belezas máis belas que vin durante toda a miña vida. Descobre as súas plumas negras. A eles deben o seu nome.
  Tras explicar os costumes destas aves, un mozo pregúntalle:
• Perdón profesor, pero dis que todos os corvos son negros?
• Non sei si dixen estas palabras, pero si. Todas as velas son negras.
• Como pode estar tan seguro?
• Bo, na miña vida vin centos de corvos e todos eran negros.
• De acordo, pero hai centos que non son todos. Cantas velas crees que hai?
• Varios millóns. Volvendo á túa pregunta, moitas persoas, científicos e non científicos, analizaron as velas durante miles de anos e ningunha delas, que eu saiba, non menciona ningunha vela que non sexa negra.
• Por tanto, non se pode falar de todos, senón de case todos os corvos.
• Iso si, pero hai máis probas. Pensa, por exemplo, nesas bonitas aves multicolores, nos papagaios, tucanes, pavos, ...
• Si, son belos, pero non se se teñen que ver coa afirmación de que todos os corvos son negros.
• Realmente non o entende?
• Non. Explicaríasmo?
• Ben. Acepta que cada gran negro confirma a generalización?
• Por suposto.
• Ben. Pois, o enunciado “todas as velas son negras”, desde o punto de vista lóxico, equivale ao enunciado “todas as cousas non negras son non negras”. Sendo isto así, e tendo en conta que todo caso que confirme un enunciado confirma os seus equivalentes, todo non negro afirma que todos os corvos son negros. Por tanto, estas fermosas aves multicolores, nin sequera negras, confírmano.
• Iso é absurdo —respondeu o mozo—. Con este criterio, as túas chaquetas azuis e pantalóns grises tamén confirman que todas as velas son negras. Porque non son veas nin negras.
• Si —di o ornitólogo—. Sei que estás a aprender a razoar como científicos.

O paradoxo de Belén suscitou una gran polémica entre os filósofos científicos a mediados dos anos 40, cando o alemán Carl Hempel explicou en Studies in the Logic of Confirmation. O paradoxo dos corvos, da afirmación, é da lóxica inductiva. Por tanto, non é una conclusión lóxica derivada das premisas reais. Este problema é paradoxal, xa que dous principios da lóxica inductiva (a afirmación e a equivalencia) derívanse a efectos lóxicos opostos á intuición.

Parece que a lóxica inductiva baséase no principio de que generalizaciones como “todos os veos son negros” confírmanse mediante casos, é dicir, cada negro recupera a generalización. A lóxica inductiva non admite certeza. A generalización só se pode dicir que tantas probas son revalidadas. Pola contra, un só veo non negro é suficiente paira rexeitar a generalización.

Debate non só o principio de afirmación senón tamén o de equivalencia. Son dous enunciados equivalentes, só se un é certo e o outro é falso. Por tanto, cando teñen o mesmo título. Por tanto, si dous enunciados equivalentes teñen o mesmo valor de execución, un caso que confirma un afirma o outro. Así mesmo, no caso de que un caso rexeite un, ambos serán rexeitados simultaneamente.

Hempel afirma que o paradoxo se debe a unha mala interpretación da extensión das generalizaciones universais. El recoñece que a generalización “todos os corvos son negros” está afirmada por pombas brancas, arco iris, etc. Na linguaxe común, a difusión limítase aos suxeitos gramaticales das generalizaciones (o corvo, o negro). Desde o punto de vista lóxico, pola contra, a súa difusión é ilimitada, é dicir, abarca todo (incluso o que non é negro).

Hempel considera que “todos os corvos son negros” como afirmación da generalización, o obstáculo paira admitir non negros é interpretar as generalizaciones segundo os coñecementos previos. Por iso, a intuición dinos que a existencia de pombas brancas, arco iris, etc. non ten nada que ver coa generalización das cores dos corvos, pero a lóxica demostra que a intuición está equivocada.

Algúns filósofos trataron de demostrar que os casos do non negros confirman a generalización en diferentes niveis. O punto de partida destas ideas é que o número de velas sexa menor que o de non negras e non negras. Segundo esta teoría hai tres métodos paira conseguir a máxima afirmación: analizar todos os corvos (ata que se demostre que todos son negros); analizar todas as cousas non negras e determinar que ningunha é vea; ou por último, analizar todas as cousas e determinar que non hai corvos non negros. Parece que o máis sensato é o estudo dos veos. Parece lícito dicir que o peso de ver un veo negro é maior, xa que proporcionalmente entre os corvos un corvo negro ten máis peso que entre o non negros una pomba branca.