Paradoxes (i II)
Hi ha espai per a més?
Imagina't que el lector té totes les seves habitacions ocupades en un hotel normal. Un matí arriba un viatger demanant una habitació. L'acolliment es nega dient que no hi ha habitació. Situació típica.
Pensa ara en un hotel increïble. Aquest hotel té infinites habitacions i totes plenes. Ha arribat un passatger i el d'acolliment, amb molt de gust, diu: tenim totes les habitacions plenes, però buscarem una habitació per a tu. Què farà el recepcionista per a donar una habitació al viatger si tots estan plens?
És més, imagina't que un grup infinit arriba el mateix dia per a participar en un esdeveniment. Ara el nombre d'inquilins a instal·lar és infinit. No obstant això, l'acolliment, gràcies a l'experiència, ha estat ben adaptada i ha col·locat a tots els inquilins en cada habitació. Com ho ha aconseguit?.
Aquestes paradoxes es consoliden fermament en la teoria dels números transfinits de Georg Cantaire, presentats per primera vegada en la dècada de 1920 pel matemàtic alemany David Hilbert. El matemàtic Georg Cantor, també alemany, va ser el primer a trobar el mètode adequat per a superar les paradoxes que els infinits grups generaven des de l'Antiguitat. Aquestes paradoxes de l'infinit també existien en l'antiga Grècia dels Zenones d'Elía.
En 1634, Galileu, en el seu llibre Converses sobre les noves ciències, en investigar un problema similar a l'hotel infinit, va entendre que les xifres de quadrats de nombres naturals i nombres naturals eren infinites; mitjançant la bijecció n´n 2, va establir que tots dos conjunts tenien el mateix nombre d'elements. No obstant això, no es va donar compte en basar-se en els postulats d'Euclides (tot és la suma de les seves parts). Per part seva, Cantor va incloure en la definició del conjunt infinit una correspondència individual: un conjunt infinit és aquell que pot ser posat en una correspondència individual amb una part o subconjunt seu.
Així van sorgir els números transfinits que representen el cardinal (nombre d'elements) dels conjunts infinits. El primer número transfinit és N0 (alef-zero) i representa el nombre de nombres naturals.
La resolució de les nostres paradoxes es basa en la definició de conjunts infinits. En la primera, la persona d'acolliment passarà a l'inquilí de l'habitació 1 a l'habitació 2, la de 2 habitacions a 3, la de 3 habitacions a 4 habitacions i així successivament a tots els inquilins que hi hagi i la que hagi vingut a l'habitació 1. Les habitacions i inquilins en l'infinit hotel són N0, després de donar habitació al nou inquilí el nombre d'inquilins serà N 0 + 1, mentre que el d'habitacions no ha variat N0 i no obstant això, N 0 + 1 = N0.
En la segona, l'acolliment portarà a l'inquilí d'1 habitació a 2 habitacions; 2 habitacions a 4 habitacions; 3 habitacions a 6 habitacions; 4 habitacions a 8 habitacions, etc. (n´2n). Així, les habitacions 1, 3, 5, 7, 9, ... quedaran lliures i introduirà en elles nous infinits inquilins (n´2n - 1). En aquesta ocasió el nou nombre d'inquilins és N0 + N0 i el nombre d'inquilins és N0. Per tant N0 + N0 = N0.
Com es veu, els postulats d'Euklides no poden aplicar-se a conjunts infinits. Tampoc es compleixen les lleis de l'aritmètica comuna.
Té barba el barber?
En un petit poble viu un únic barber. El seu ofici és afaitar-se a tots aquells que no s'afaiten. El barber està decaigut perquè no sap si ha de llevar-se la barba.
I és que és lògic llevar-se la barba a si mateix, però si s'aferra a si mateix no compleix la condició per a poder afaitar-se. I si no es lleva la barba, segons la condició, hauria de llevar-se la barba. No és un problema de barber. Què ha de fer?.
Paradoxa publicada pel filòsof anglès Bertrand Russell en 1918. En paraules humils, al poble hi ha dos tipus de persones: les que s'afaiten i no es lleven. La pregunta real és de quin grup és el barber?. La veritat és que el barber no pot existir perquè la seva existència li portaria a conseqüències contradictòries.
No obstant això, la qüestió no és tan senzilla, ja que l'estructura és similar a l'altra paradoxa de Russell, els conjunts que són elements de si mateix. L'essència d'aquesta paradoxa radica a reconèixer que a cada propietat o descripció li correspon un conjunt. Per exemple, es pot definir el conjunt de satèl·lits que la Terra tenia fa 100 anys, sent el seu únic element la lluna. No obstant això, el conjunt de satèl·lits artificials manca d'elements. No obstant això, existeix (conjunt buit). La paradoxa de Russell es refereix a conjunts que són o no elements de si mateix. Per exemple, el conjunt de colors de l'arc de Sant Martí no és un element del conjunt (del seu cap), sinó un conjunt. No obstant això, el conjunt de conjunts amb més de 10 elements té més de 10 elements.
És, per tant, un element de si mateix. Si denominem conjunt H, el conjunt dels ocells, h, és el seu element; el conjunt dels rius, i també; el dels automòbils, k; el dels peixos, a; el de les lletres, l; el de les persones, p; el dels gossos, z; el de les vaques, b; el de les hores, o; el de les muntanyes, m; el dels telèfons, t; …, és a dir:
H = {h,i,k,l,p,z,b,o,m,t,...}
Per tant, la mateixa H té més de 10 elements
H = {h,i,k,l,p,z,b,o,m,t,H,...}.
Tornem als grups que no es consideren elements. La pregunta és: és el conjunt de tots els conjunts que no són elements de si mateixos? Igual que succeïa amb el barber, i en paraules humils, el conjunt de tots els conjunts que no són elements de si mateix no és un element de si mateix, només si és un element de si mateix. Clar, aquí hi ha contradicció.
Per a resoldre el cas, Russell va rebutjar la idea que un conjunt corresponia a cada predicat. Ell deia que els predicats que produïen efectes contradictoris no tenien significat, ja que no creaven conjunts. És a dir, definir un conjunt no significa que existeixi el conjunt. Així, no es pot definir el cercle quadrat, perquè són conceptes contradictoris. La resolució de Russell ens obliga a deixar conceptes sobre el conjunt i la veritat arrelats en la intuïció.
Existeix un altre mètode per a eliminar la contradicció de la paradoxa. Un necessita una teoria de conjunt basada en una lògica polivalent i no en una lògica vàlida. En aquest sistema la negació perd el seu significat. Per tant, es pot admetre un conjunt que és un element de si mateix i al mateix temps no és.
Totes les veles són negres?
Davant la gàbia de les veles, un ornitòleg afirma:
- Aquí tens dos de les belleses més belles que he vist durant tota la meva vida. Descobreix les seves plomes negres. A ells deuen el seu nom. Després d'explicar els costums d'aquests ocells, un jove li pregunta:
- Perdó professor, però dius que tots els corbs són negres?
- No sé si he dit aquestes paraules, però sí. Totes les veles són negres.
- Com pot estar tan segur?
- Bé, en la meva vida he vist centenars de corbs i tots eren negres.
- D'acord, però hi ha centenars que no són tots. Quantes veles creus que hi ha?
- Diversos milions. Tornant a la teva pregunta, moltes persones, científics i no científics, han analitzat les veles durant milers d'anys i cap d'elles, que jo sàpiga, no esmenta cap vela que no sigui negra.
- Per tant, no es pot parlar de tots, sinó de gairebé tots els corbs.
- Això sí, però hi ha més proves. Pensa, per exemple, en aquests bonics ocells multicolors, en els lloros, tucans, galls dindis, ...
- Sí, són bells, però no sé si tenen a veure amb l'afirmació que tots els corbs són negres.
- Realment no ho entén?
- No. M'ho explicaries?
- Bé. Accepta que cada gra negre confirma la generalització?
- Per descomptat.
- Bé. Perquè, l'enunciat “totes les veles són negres”, des del punt de vista lògic, equival a l'enunciat “totes les coses no negres són no negres”. Sent això així, i tenint en compte que tot cas que confirmi un enunciat confirma els seus equivalents, tot no negre afirma que tots els corbs són negres. Per tant, aquests bells ocells multicolors, ni tan sols negres, ho confirmen.
- Això és absurd —va respondre el jove—. Amb aquest criteri, les teves jaquetes blaves i pantalons grisos també confirmen que totes les veles són negres. Perquè no són veles ni negres.
- Sí que —diu l'ornitòleg—. Sé que estàs aprenent a raonar com a científics.
La paradoxa de Betlem va suscitar una gran polèmica entre els filòsofs científics a mitjan anys 40, quan l'alemany Carl Hempel va explicar en Studies in the Logic of Confirmation. La paradoxa dels corbs, de l'afirmació, és de la lògica inductiva. Per tant, no és una conclusió lògica derivada de les premisses reals. Aquest problema és paradoxal, ja que dos principis de la lògica inductiva (l'afirmació i l'equivalència) es deriven a efectes lògics oposats a la intuïció.
Sembla que la lògica inductiva es basa en el principi que generalitzacions com “tots els vels són negres” es confirmen mitjançant casos, és a dir, cada negre recupera la generalització. La lògica inductiva no admet certesa. La generalització només es pot dir que tantes proves són revalidades. Per contra, un sol vel no negre és suficient per a rebutjar la generalització.
Debat no sols el principi d'afirmació sinó també el d'equivalència. Són dos enunciats equivalents, només si un és cert i l'altre és fals. Per tant, quan tenen el mateix títol. Per tant, si dos enunciats equivalents tenen el mateix valor d'execució, un cas que confirma un afirma l'altre. Així mateix, en cas que un cas rebutgi un, tots dos seran rebutjats simultàniament.
Hempel afirma que la paradoxa es deu a una mala interpretació de l'extensió de les generalitzacions universals. Ell reconeix que la generalització “tots els corbs són negres” està afirmada per coloms blancs, arc de Sant Martí, etc. En el llenguatge comú, la difusió es limita als subjectes gramaticals de les generalitzacions (el corb, el negre). Des del punt de vista lògic, per contra, la seva difusió és il·limitada, és a dir, abasta tot (fins i tot el que no és negre).
Hempel considera que “tots els corbs són negres” com a afirmació de la generalització, l'obstacle per a admetre no negres és interpretar les generalitzacions segons els coneixements previs. Per això, la intuïció ens diu que l'existència de coloms blancs, arc de Sant Martí, etc. no té res a veure amb la generalització dels colors dels corbs, però la lògica demostra que la intuïció està equivocada.
Alguns filòsofs han tractat de demostrar que els casos dels no negres confirmen la generalització en diferents nivells. El punt de partida d'aquestes idees és que el nombre de veles sigui menor que el de no negres i no negres. Segons aquesta teoria hi ha tres mètodes per a aconseguir la màxima afirmació: analitzar tots els corbs (fins que es demostri que tots són negres); analitzar totes les coses no negres i determinar que cap és vela; o finalment, analitzar totes les coses i determinar que no hi ha corbs no negres. Sembla que el més assenyat és l'estudi dels vels. Sembla lícit dir que el pes de veure un vel negre és major, ja que proporcionalment entre els corbs un corb negre té més pes que entre els no negres un colom blanc.
Zu idazle
Zientzia aldizkaria
