Paradojas (y II)
¿Hay espacio para más?
Imagínate que el lector tiene todas sus habitaciones ocupadas en un hotel normal. Una mañana llega un viajero pidiendo una habitación. La acogida se niega diciendo que no hay habitación. Situación típica.
Piensa ahora en un hotel increíble. Este hotel tiene infinitas habitaciones y todas llenas. Ha llegado un pasajero y el de acogida, con mucho gusto, dice: tenemos todas las habitaciones llenas, pero buscaremos una habitación para ti. ¿Qué hará el recepcionista para dar una habitación al viajero si todos están llenos?
Es más, imagínate que un grupo infinito llega el mismo día para participar en un evento. Ahora el número de inquilinos a instalar es infinito. Sin embargo, la acogida, gracias a la experiencia, ha sido bien adaptada y ha colocado a todos los inquilinos en cada habitación. ¿Cómo lo ha conseguido?.
Estas paradojas se consolidan firmemente en la teoría de los números transfinitos de Georg Cantor, presentados por primera vez en la década de 1920 por el matemático alemán David Hilbert. El matemático Georg Cantor, también alemán, fue el primero en encontrar el método adecuado para superar las paradojas que los infinitos grupos generaban desde la Antigüedad. Estas paradojas del infinito también existían en la antigua Grecia de los Zenones de Elía.
En 1634, Galileo, en su libro Conversaciones sobre las nuevas ciencias, al investigar un problema similar al hotel infinito, entendió que las cifras de cuadrados de números naturales y números naturales eran infinitas; mediante la biyección n´n 2, estableció que ambos conjuntos tenían el mismo número de elementos. Sin embargo, no se dio cuenta al basarse en los postulados de Euclides (todo es la suma de sus partes). Por su parte, Cantor incluyó en la definición del conjunto infinito una correspondencia individual: un conjunto infinito es aquel que puede ser puesto en una correspondencia individual con una parte o subconjunto suyo.
Así surgieron los números transfinitos que representan el cardinal (número de elementos) de los conjuntos infinitos. El primer número transfinito es N0 (alef-cero) y representa el número de números naturales.
La resolución de nuestras paradojas se basa en la definición de conjuntos infinitos. En la primera, la persona de acogida pasará al inquilino de la habitación 1 a la habitación 2, la de 2 habitaciones a 3, la de 3 habitaciones a 4 habitaciones y así sucesivamente a todos los inquilinos que haya y la que haya venido a la habitación 1. Las habitaciones e inquilinos en el infinito hotel son N0, después de dar habitación al nuevo inquilino el número de inquilinos será N 0 + 1, mientras que el de habitaciones no ha variado N0 y sin embargo, N 0 + 1 = N0.
En la segunda, la acogida llevará al inquilino de 1 habitación a 2 habitaciones; 2 habitaciones a 4 habitaciones; 3 habitaciones a 6 habitaciones; 4 habitaciones a 8 habitaciones, etc. (n´2n). Así, las habitaciones 1, 3, 5, 7, 9, ... quedarán libres e introducirá en ellas nuevos infinitos inquilinos (n´2n - 1). En esta ocasión el nuevo número de inquilinos es N0 + N0 y el número de inquilinos es N0. Por lo tanto N0 + N0 = N0.
Como se ve, los postulados de Euklides no pueden aplicarse a conjuntos infinitos. Tampoco se cumplen las leyes de la aritmética común.
¿Tiene barba el barbero?
En un pequeño pueblo vive un único barbero. Su oficio es afeitarse a todos aquellos que no se afeitan. El barbero está decaído porque no sabe si tiene que quitarse la barba.
Y es que es lógico quitarse la barba a sí mismo, pero si se aferra a sí mismo no cumple la condición para poder afeitarse. Y si no se quita la barba, según la condición, debería quitarse la barba. No es un problema de barbero. ¿Qué debe hacer?.
Paradoja publicada por el filósofo inglés Bertrand Russell en 1918. En palabras humildes, en el pueblo hay dos tipos de personas: las que se afeitan y no se quitan. La pregunta real es ¿de qué grupo es el barbero?. La verdad es que el barbero no puede existir porque su existencia le llevaría a consecuencias contradictorias.
Sin embargo, la cuestión no es tan sencilla, ya que la estructura es similar a la otra paradoja de Russell, los conjuntos que son elementos de sí mismo. La esencia de esta paradoja radica en reconocer que a cada propiedad o descripción le corresponde un conjunto. Por ejemplo, se puede definir el conjunto de satélites que la Tierra tenía hace 100 años, siendo su único elemento la luna. Sin embargo, el conjunto de satélites artificiales carece de elementos. Sin embargo, existe (conjunto vacío). La paradoja de Russell se refiere a conjuntos que son o no elementos de sí mismo. Por ejemplo, el conjunto de colores del arco iris no es un elemento del conjunto (de su cabeza), sino un conjunto. Sin embargo, el conjunto de conjuntos con más de 10 elementos tiene más de 10 elementos.
Es, por tanto, un elemento de sí mismo. Si denominamos conjunto H, el conjunto de las aves, h, es su elemento; el conjunto de los ríos, i también; el de los automóviles, k; el de los peces, a; el de las letras, l; el de las personas, p; el de los perros, z; el de las vacas, b; el de las horas, o; el de los montes, m; el de los teléfonos, t; …, es decir:
H = {h,i,k,l,p,z,b,o,m,t,...}
Por lo tanto, la misma H tiene más de 10 elementos
H = {h,i,k,l,p,z,b,o,m,t,H,...}.
Volvamos a los grupos que no se consideran elementos. La pregunta es: ¿es el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos? Al igual que sucedía con el barbero, y en palabras humildes, el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismo no es un elemento de sí mismo, sólo si es un elemento de sí mismo. Claro, aquí hay contradicción.
Para resolver el caso, Russell rechazó la idea de que un conjunto correspondía a cada predicado. Él decía que los predicados que producían efectos contradictorios no tenían significado, ya que no creaban conjuntos. Es decir, definir un conjunto no significa que exista el conjunto. Así, no se puede definir el círculo cuadrado, porque son conceptos contradictorios. La resolución de Russell nos obliga a dejar conceptos sobre el conjunto y la verdad enraizados en la intuición.
Existe otro método para eliminar la contradicción de la paradoja. Uno necesita una teoría de conjunto basada en una lógica polivalente y no en una lógica válida. En este sistema la negación pierde su significado. Por tanto, se puede admitir un conjunto que es un elemento de sí mismo y al mismo tiempo no es.
¿Todas las velas son negras?
Ante la jaula de las velas, un ornitólogo afirma:
- Aquí tienes dos de las bellezas más bellas que he visto durante toda mi vida. Descubre sus plumas negras. A ellos deben su nombre.
Tras explicar las costumbres de estas aves, un joven le pregunta: - Perdón profesor, pero ¿dices que todos los cuervos son negros?
- No sé si he dicho estas palabras, pero sí. Todas las velas son negras.
- ¿Cómo puede estar tan seguro?
- Bueno, en mi vida he visto cientos de cuervos y todos eran negros.
- De acuerdo, pero hay cientos que no son todos. ¿Cuántas velas crees que hay?
- Varios millones. Volviendo a tu pregunta, muchas personas, científicos y no científicos, han analizado las velas durante miles de años y ninguna de ellas, que yo sepa, no menciona ninguna vela que no sea negra.
- Por lo tanto, no se puede hablar de todos, sino de casi todos los cuervos.
- Eso sí, pero hay más pruebas. Piensa, por ejemplo, en esas bonitas aves multicolores, en los loros, tucanes, pavos, ...
- Sí, son bellos, pero no sé si tienen que ver con la afirmación de que todos los cuervos son negros.
- ¿Realmente no lo entiende?
- No. ¿Me lo explicarías?
- Bien. ¿Acepta que cada grano negro confirma la generalización?
- Por supuesto.
- Bien. Pues, el enunciado “todas las velas son negras”, desde el punto de vista lógico, equivale al enunciado “todas las cosas no negras son no negras”. Siendo esto así, y teniendo en cuenta que todo caso que confirme un enunciado confirma sus equivalentes, todo no negro afirma que todos los cuervos son negros. Por lo tanto, estas hermosas aves multicolores, ni siquiera negras, lo confirman.
- Eso es absurdo —respondió el joven—. Con este criterio, tus chaquetas azules y pantalones grises también confirman que todas las velas son negras. Porque no son velas ni negras.
- Sí —dice el ornitólogo—. Sé que estás aprendiendo a razonar como científicos.
La paradoja de Belén suscitó una gran polémica entre los filósofos científicos a mediados de los años 40, cuando el alemán Carl Hempel explicó en Studies in the Logic of Confirmation. La paradoja de los cuervos, de la afirmación, es de la lógica inductiva. Por tanto, no es una conclusión lógica derivada de las premisas reales. Este problema es paradójico, ya que dos principios de la lógica inductiva (la afirmación y la equivalencia) se derivan a efectos lógicos opuestos a la intuición.
Parece que la lógica inductiva se basa en el principio de que generalizaciones como “todos los velos son negros” se confirman mediante casos, es decir, cada negro recupera la generalización. La lógica inductiva no admite certeza. La generalización sólo se puede decir que tantas pruebas son revalidadas. Por el contrario, un solo velo no negro es suficiente para rechazar la generalización.
Debate no sólo el principio de afirmación sino también el de equivalencia. Son dos enunciados equivalentes, sólo si uno es cierto y el otro es falso. Por tanto, cuando tienen el mismo título. Por lo tanto, si dos enunciados equivalentes tienen el mismo valor de ejecución, un caso que confirma uno afirma el otro. Asimismo, en caso de que un caso rechace uno, ambos serán rechazados simultáneamente.
Hempel afirma que la paradoja se debe a una mala interpretación de la extensión de las generalizaciones universales. Él reconoce que la generalización “todos los cuervos son negros” está afirmada por palomas blancas, arco iris, etc. En el lenguaje común, la difusión se limita a los sujetos gramaticales de las generalizaciones (el cuervo, el negro). Desde el punto de vista lógico, por el contrario, su difusión es ilimitada, es decir, abarca todo (incluso lo que no es negro).
Hempel considera que “todos los cuervos son negros” como afirmación de la generalización, el obstáculo para admitir no negros es interpretar las generalizaciones según los conocimientos previos. Por ello, la intuición nos dice que la existencia de palomas blancas, arco iris, etc. no tiene nada que ver con la generalización de los colores de los cuervos, pero la lógica demuestra que la intuición está equivocada.
Algunos filósofos han tratado de demostrar que los casos de los no negros confirman la generalización en diferentes niveles. El punto de partida de estas ideas es que el número de velas sea menor que el de no negras y no negras. Según esta teoría hay tres métodos para conseguir la máxima afirmación: analizar todos los cuervos (hasta que se demuestre que todos son negros); analizar todas las cosas no negras y determinar que ninguna es vela; o por último, analizar todas las cosas y determinar que no hay cuervos no negros. Parece que lo más sensato es el estudio de los velos. Parece lícito decir que el peso de ver un velo negro es mayor, ya que proporcionalmente entre los cuervos un cuervo negro tiene más peso que entre los no negros una paloma blanca.
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