1993/03/01 69. zenbakia

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Nikolai I. Lobatxevski (1792-1856): Du néant le nouveau monde

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Rarement dans l'histoire des mathématiques, il ya eu quelque chose comme aggravé par la découverte de la géométrie non euclidienne. Il établissait une crise sur les bases, mais, comme d'habitude, il sortit renforcé de la crise, de sorte qu'il partait des nouvelles voies. En tant que créateurs de la géométrie non-euclidienne sont principalement cités deux noms: Le russe Nikolai Lobatxevski et le hongrois János Bolyai. L'année 1992 qui nous a paru parmi les célébrations des célèbres siècles nous a laissé caché aux autres, et l'un d'eux est le deuxième de la naissance de Lobatxevski.

Euclide et cinquième postulat

Une page de la version latine du livre "Eléments" d'Euclide d'Alexandrie. C'est le premier livre que nous avons offert les Grecs pour l'histoire des mathématiques au 3ème siècle avant JC. C.

Dans le troisième siècle avant JC. C. les Grecs nous ont offert le premier livre pour l'histoire des mathématiques: Éléments d'Euclide d'Alexandrie. Il analyse les nombres et la géométrie. Outre le sujet, l'important est la méthode, où vous trouverez la base de la méthode axiomatique déductive utilisé en mathématiques. Premièrement, il y a des affirmations (postulats ou axiomes) qui ne doivent pas être acceptées et testées au préalable. Par la suite, en appliquant les règles de la Logique on prouve d'autres affirmations (propositions ou théorèmes).

Quelles conditions faut-il exiger des postulats quand on veut construire une théorie? D'une part, il faut qu'ils ne soient pas contradictoires (c'est-à-dire qu'un résultat ne soit pas dérivé, ni le contraire). D'autre part, il convient de ne pas être trop, même si cela ne ruinerait pas la théorie. Quand sont-ils trop? Quand un postulat est la conséquence d'autres, il peut être retiré de la liste des postulats et apparaître comme théorème, laissant toute la théorie inchangée.

Euklides a utilisé cinq postulats spéciaux pour la géométrie. Bien que la formulation des éléments est plus géométrique, en mots simples peuvent être définis comme:

1. Pour l'un des deux points, vous passez une seule droite.
2. Deux dés directement, à côté du premier on peut placer un autre congruent avec le second pour lui donner une ligne droite plus longue.
3. Etant donné deux points différents, il y a toujours une circonférence qui a comme centre le premier et passe par le second.
4. Tous les angles droits sont congruents.
5. Si une droite coupe deux autres droites et la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux rectangulaires, ils s'unissent en étendant les droites de ce côté.

Bien que les quatre premiers postulats semblent accepter sans doute, il a été perçu depuis longtemps que le cinquième est spécial. Dans le travail d'Euklides on peut aussi apprécier quelque chose de semblable à cela (puisqu'il a testé les 28 premières propositions sans utiliser ce postulat et ne l'a introduit que lorsqu'il s'est avéré indispensable).

Dans les siècles suivants, de nombreux mathématiciens se sont souciés du cinquième postulat et peuvent fixer deux positions: certaines, qui n'ont pas beaucoup aimé la formulation d'Euklides et qui a remplacé par une autre formulation plus “acceptable”. D'autres ont essayé de prouver que le cinquième postulat était la conséquence de quatre autres. Beaucoup d’entre eux ont donné la “démonstration”, mais toujours involontairement, avec un postulat alternatif. Dans les livres et les cours habituels de la géométrie euclidienne, l'un des postulats alternatifs a pris la place de ce qu'Euklides a donné: D'un point extérieur d'une droite on peut réaliser une seule droite parallèle. Pour cette raison, on appelle le cinquième postulat des parallèles.

Modèle de Beltrat-Klein. Les droites sont droites dans le cercle.

Une façon de voir que le cinquième postulat (dans l'une de ses formulations) est la conséquence des précédentes est de le conduire à l'absurde: considérant qu'il est vrai le contraire, arriver à une contradiction. XIX. Avant le XXe siècle, les plus avancés sur ce chemin étaient le jésuite italien Gerolamo Saccheri (1677-1733) et le suisse Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Saccherik trouvé des résultats intéressants mais d'apparence assez rare (Bien sûr, en comparant les géométries euclidiennes avec lesquelles nous sommes habitués).

L'un d'eux a été considéré comme impossible et ainsi conclu que le postulat des parallèles est correct, comme nous l'a enseigné dans le livre Euklides garbi de toutes les erreurs. Lambert a souligné, entre autres, que Saccheri n'est pas venu à la contradiction et qu'il a obtenu plus de résultats de sa part. En outre, il a perçu que le cinquième postulat ne pouvait être obtenu à la suite des autres et que les résultats du contraire peuvent être rares à partir de l'expérience habituelle, mais en aucun cas contradictoires du point de vue de la logique. La seule raison d'accepter le postulat des parallèles serait donc la commodité. Grâce à cela, Lambert a été un pionnier des travaux du siècle suivant.

XVIII. À la fin du XXe siècle, pour sa part, l'opinion du célèbre philosophe Kant a également eu une grande influence sur le débat. Pour Kant on ne peut pas inventer une géométrie autre que l'euclidienne, puisque c'est une connaissance que nous avons d'avance (a priori).

Contribution de Lobatxevski

Comme beaucoup d'autres, Lobatxevski a fait ses premiers pas pour prouver le postulat des parallèles et a pensé qu'il a obtenu. Il ne tarda pas à prendre un autre chemin. Le cinquième postulat disait que l'expérience «prouvait» et qu'on ne peut pas donner une démonstration en dehors d'elle, ou qu'on ne doit pas aux quatre premiers postulats. De plus, le remplacement de quatre autres postulats par un autre postulat (pas équivalent) et la construction d'une géométrie autre que l'euclidienne, également sans contradictions. Malgré la ligne de Lambert que nous avons mentionné ci-dessus, il semble que Lobatxevski ne connaissait pas ses œuvres.

Le postulat alternatif qu'il a proposé était: d'un point extérieur d'une droite, vous pouvez faire deux droites différentes qui se lient à la précédente. «Les surfaces et les lignes ne sont pas dans la Nature, mais dans l’imagination», dira-t-il clairement, laissant la Géométrie en marge du monde physique (autre chose qui convient le mieux aux besoins de la Physique). Au début, il a nommé verbalement la géométrie imaginaire et, plus tard, la pangéométrie. Il est actuellement appelé la géométrie hyperbolique (parfois aussi la géométrie de Lobatxevski). Les théorèmes qui sont démontrés dans cette géométrie, comme mentionné ci-dessus, ne sont pas habituels. Voici quelques exemples :

• La somme des angles d'un triangle est inférieure à deux rectangles et sa surface est proportionnelle à celle qui manque pour que cette somme soit deux rectangles.
• Si les angles de deux triangles sont égaux, les triangles sont égaux.

Gauss. La proposition de Gauss a été de nommer Lobatxevski en tant que membre de la Société des sciences de Göttingen.

Lobatxevski a également construit la Trigonométrie correspondant à cette géométrie, également différente de celle habituelle. Mais il y a des relations entre les deux qui s'appuient, c'est-à-dire si l'une est possible, l'autre aussi.

Bien que travaillant dans d'autres domaines, Lobatxevski est connu pour la géométrie. En février 1826, il parla pour la première fois au public de ses nouvelles idées et publia en 1829 ce premier sujet dans le Bulletin de Kazan. Puis d'autres sont venus, toujours en russe, jusqu'à ce qu'en 1837 il a sorti un ouvrage en français dans le célèbre Journal de Crelle (sous le titre de Géométrie imaginaire) et trois ans plus tard une monographie en allemand (Études géométriques sur la théorie des parallèles). Un an avant sa mort, il a publié une explication complète sur le titre Pangéométrie, en russe et en français.

Bolyai et Gauss

Lobatxevski n'a pas été la seule à parvenir à ces conclusions. L’œuvre «Science de l’Espace Absolu» que le Hongrois János Bolyai (1802-1860) consacra à son père, Wolfgang Bolyaire, à la Juventutem Studiosam in Elementa Mathesis (1832-33) semblable à celle de Lobatxevski. Lorsque le jeune Bolyai en 1823 a informé son père de ses travaux, il a dit dans une lettre: «J’ai fait des découvertes si fascinantes que moi aussi j’ai perdu la surprise: de rien j’ai créé un monde nouveau différent». Il était un ami de Wolfgang Bolyai Gauss et à cette époque, il était le mathématicien le plus célèbre. C'est pourquoi il lui a envoyé le travail de son fils pour lui donner son avis.

La réponse de Gauss est: « Si je me mets à dire que je ne peux pas féliciter ce travail, tu seras surpris, mais je ne peux rien faire d’autre, parce que je me féliciterais, parce que tout le contenu du travail, le chemin que ton fils a pris et les résultats qu’il veut obtenir sont presque entièrement les réflexions que j’ai faites au cours des 30-35 dernières années ». Le jeune Bolyai a été blessé en écoutant ces mots, espérant que Gauss voudrait lui voler ses résultats. D'autre part, malgré l'œuvre de Lobatxevski, il croit d'abord qu'il était copié de son œuvre. En conséquence, il a définitivement abandonné les mathématiques. Mais il n'est pas si rare d'obtenir des résultats similaires de chercheurs différents sans copier. Les mots suivants de Wolfgang Bolyaire sont très illustratifs: «Il semble que certaines conséquences peuvent être atteintes de nombreux endroits, où ils se trouvent à différents endroits (comme c’était le cas), comme les violettes apparaissent au printemps.»

Le travail de Gauss avec des géométries non eucalyptiques n'est pas bien connu, car il semble que la réaction contre les philosophes kantiens n'a pas osé rejeter. Selon certains auteurs, les résultats de Lobatxevski et du Bolyaire sont basés sur des idées tirées indirectement de Gauss et nous devrions considérer Gauss comme le véritable créateur de la géométrie non euclidienne. D'autres, cependant, ne l'acceptent pas et affirment que Gauss n'a jamais été à partir des premiers pas et qu'il faut leur confesser ce qui revient à Lobatxevski et à Bolyai. En tout cas, il semble que Gauss se réjouit de sortir dans la rue l'œuvre des autres, comme il a ensuite exalté la contribution de Riemann sur des sujets similaires. En outre, la nomination de Lobatxevski comme membre de la Société des sciences de Göttingen (1842) a été une proposition de Gauss.

Modèles euclidiens

Le renouvellement de la géométrie non-euclidienne dans la communauté mathématique n'a pas été remarqué rapidement. Pour cela, il a fallu des années et, surtout, la contribution du mathématicien italien Eugène Beltrami (1835-1900) lui a donné sa place en mathématiques. Le fait de ne pas trouver de contradictions au lieu du postulat des parallèles n'assurait pas qu'il n'existait pas, car il est impossible d'écrire tous les théorèmes qui pourraient être déduits. Mais Beltrami a découvert au sein de la géométrie euclidienne un modèle qui répond aux exigences de la géométrie hyperbolique et vice versa. Par conséquent, la géométrie euclidienne et hyperbolique sont tous deux possibles ou les deux impossibles. Il a totalement annulé la tendance à considérer la géométrie euclidienne comme une “vérité”.

Le modèle de Poincaré. Les lignes de l'image sont droites et tous les triangles dessinés ont la même surface.

Le modèle Beltrat-Klein (sans entrer dans les détails) est quelque chose comme ça: dans un cercle les droites sont normales (bien sûr, les parties qui sont dans le cercle), mais la façon de mesurer les distances change et aussi celle de mesurer des angles. Les “longueurs” augmentent à mesure qu’elles approchent de la limite du cercle et, en réalité, la longueur d’une corde du cercle est infinie. Il est facile de noter que dans ce cas le postulat euclidien des parallèles n'est pas accompli. Dans ce modèle Poincaré a proposé un changement. Ils sont droits, diamètres et morceaux de circonférence (attachés à la circonférence qui est la limite du cercle) et les angles sont mesurés normalement, mais pas les distances.

Disons, enfin, que contrairement à la physique newtonienne, la physique moderne utilise des modèles non euclidiens pour décrire l'espace. Le lecteur intéressé par l'évolution de la géométrie non euclidienne et ses modèles euclidienne dans la revue “Elhuyar” J. Llombart, A. Bernalte et M. Vous pouvez voir les articles suivants de Ensunza: Projet historique de géométrie non euclidienne, tome 11, vol. 2 (1985), pp. 263-271. et modèles eucliniques du plan hyperbolique, tome 12, vol. 2 (1986), pp. 1-3.