Gorputz platonikoak
Ez, ez dira udako oporretan eguzkitan edo itzalean ikusten ditugun gorputz sendo, lirain eta beltzaran horiek. Ez, kulturismo egiten dutenenak ere ez dira. “Plato”etan zerbitzatzen diren bixigu edo arkume erreetan pentsatu duena ere oker dago. Gorputz platonikoak poliedro erregularrak baino ez dira. Poliedro erregularrei gorputz kosmiko edo gorputz platoniko ere deitu izan zaie, Platonek fenomenoak zientifikoki azaltzeko Timeo izeneko lanean aplikatzen dituen erengatik hain zuzen. Guztira bost dira: tetraedroa, hexaedroa (kuboa), oktaedroa, dodekaedroa eta ikosaedroa (1. irudia). Bosten ezaugarriak ondokoak dira: mota bereko poligono erregularrek osatuak eta konbexuak izatea; tetraedroa, oktaedroa eta ikosaedroa triangelu aldekidez osaturik daude, hexaedroa karratuz eta dodekaedroa pentagonoz.
IZENAALDEAKERTZAKERPINAKTetraedroa4 triangelu64Hexaedroa6 karratu128Oktaedroa8 triangelu126Dodekaedroa12 pentagono3020Ikosaedroa20 triangelu3012Euler-en formula |
Aldeak + Erpinak = Ertzak + 2 |
Platonek (K.a. 427-347) ez zion, berez, emaitza teknikorik ekarri matematikari. Hala ere, garaiko iharduera matematikoaren benetako zentroa izan zen eta bere garapenean pertsonalki eragiteaz gain, zuzendu ere egin zuen. Atenaseko eskolako sarrera-ate gaineetan ondokoa omen zegoen idatzita: “Ez dadila hona geometria ez dakien inor sar”. Matematikaz zuen ardurak, matematikari gisa baino, matematikarigile bezala eman zuen ezagutzera. Badirudi Platonek matematikaz zuen onespena ez zetorkiola Sokrates bere maisuarengandik. Arkitas, bere laguna, izan omen zen Platon matematikara hurbildu zuena K.a. 300. urtean Sizilian egin zion bisitan. Agian, han izan zuen lehenengo aldiz aipatutako bost gorputz erregularren berri.
Tetraedroa, hexaedroa, oktaedroa eta ikosaedroa Enpedokles-en lau elementuekin erlazionatzen ziren, mendeetan zehar gizakia liluratu duen eskema kosmiko batean (2. irudia). Bestetik, Pitagorikoek dodekaedroa miresten zuten. Platonek dodekaedroa, bostgarren eta azken gorputz erregularra, unibertsoaren sinbolotzat hartu zuen.
Sua, airea, ura eta lurra tetraedroa, oktaedroa, ikosaedroa eta hexaedroarekin elkartzen dira, hurrenez hurren. Hexaedroarenak salbu, beste poliedroen aldeak triangelu aldekideak direnez eta, beraz, antzekoak, dagozkien elementuak —sua, airea eta ura— elkar bihur litezke, baina ez lur, hexaedroaren aldeak karratuak baitira. Karratuak ezin dira triangelu aldekidetan deskonposatu, triangelu zuzen isoszeletan soilik deskonposa daitezke. Bestalde, bere azalarekiko bolumen txikien duen poliedroa tetraedroa da eta hortik dator, nonbait, suari lotu izana. Azalarekiko bolumen handienekoa, aldiz, ikosaedroa da eta hori dela eta, urari lotu zaio. Hexaedroa, berriz, egonkorra da bere oinarriarekiko eta, ondorioz, lurrari lotu zaio. Oktaedroak elkarren aurkako bi erpinetatik helduta biratzen duenez, mugitzen den aireari egokitu zaio. Bostgarren poliedro erregularra, dodekaedroa, pentagonoz osaturik dago eta pentagonoak ere ezin dira triangelu aldekidetan deskonposatu; bestetik, dodekaedroak 12 alde ditu, zodiakoaren 12 zeinuen islak, hain zuzen; hortik dator bere lotura unibertsoarekin.
Platonen gorputz erregularrei buruzko ideiak Timeo-n, solaskide nagusiaren izena daraman lanean, azaldu zituen. Ez dakigu Timeo Lokriakoa benetan existitu zen edo Platonek, bere ideia pitagorikoak azaltzeko aitzakiaz, asmatu zuen.
Platonek 70 urte zituela idatzi zuen solasaldi hau; bertan lau elementuen eta gorputz erregularren arteko loturaren lehen aztarna zehatza ematen badigu ere, fantasia horren atal asko pitagorikoei zor zaie. Proklo-k dioenez, Pitagorasek eraiki zuen irudi kosmikoa, baina Suidas eskolastikoak zioenez Teeteto (Platonen laguna, K.a. 414. urtean jaioa) izan zen horri buruz idatzi zuen lehena.
Euklides-ek “Elementuak” lanaren azken liburua, XIII.a alegia, eskaini zien poliedro erregularrei. Bertan, poliedroen ertzen eta inskribatutako eta zirkunskribatutako esferen erradioen artean dauden erlazioak eman zizkigun. Azkenik, lema bezala geroago erantsi omen zen teorema agertzen zen: ezagutzen diren bost poliedro erregularrez gain, ez dago beste poliedro erregularrik.
Euklides-en “Elementuak” lanaren XIII. liburuko data ezezaguneko eskolio batek dioenez, pitagorikoek hiru gorputz erregular baino ez zituzten ezagutzen eta oktaedroa eta ikosaedroa Teetetok ezagutarazi omen zituen. Dena dela, badirudi Teetetok poliedro erregularren orduko azterketa sistematikoetako bat egin zuela eta berak idatzi zuela bost eta soilik bost poliedro erregular daudela dioen teorema. Apika, “Elementuak” lanaren azkeneko liburuan agertzen diren gorputz erregularren ertzen eta esfera zirkunskribatuaren erradioaren arteko arrazoien kalkuluak ere bereak dira.
Hala aritmetikan nola geometrian, Platon matematika hutsaren alde jarri zen, artisau eta teknikoaren kontzepzio materialisten aurrean. Plutarko-k bere “Marcelo-ren bizitza” lanean jaso zuen Platonen haserrea geometrian artifizio mekanikoak erabiltzen zirela ikusirik; Platonek erabilpen hori geometrian dagoen ongiaren ustelkeria eta ezereztatze sinpletzat hartzen zuen, adimen hutsaren gorputz gabeko objektuei bere bizkarra lotsagabeki emanez. Ondorioz, Platon izan zatekeen, neurri handian, konpas eta erregelaren bidez soilik egin daitezkeen geometriako eraiketetara zegoen murriztapen nagusiaren erantzule. Murrizketa horren arrazoia ziurraski ez zen izan erabilitako tresnen sinpletasuna, eraikien simetria baizik: zirkuluaren edozein diametro simetri ardatza da; zuzenaren edozein puntu simetri zentroa da; zuzen batekiko edozein elkartzut bere simetri ardatza da.
Filosofia platonikoak, ideiak jainkotuz, irudi geometriko guztien artean zuzena eta zirkunferentzia lehen lekuan jarri behar zituen. Antzeko eran, Platonek triangelua goretsi zuen. Platonen ustez, bost poliedro erregularren aldeak ez ziren triangelu, karratu eta pentagono hutsak. Esate baterako, tetraedroaren alde bakoitza sei triangelu zuzen txikiagoz osaturik zegoen (altueren bidez lortuak) eta horrela, tetraedroa 24 triangelu zuzen eskalenotan deskonposatzen zen. Era berean, oktaedroa eta ikosaedroa 48 eta 120 triangelu zuzen eskalenotan, hurrenez hurren, eta hexaedroa 24 triangelu zuzen isoszeletan.
Dodekaedroari paper berezia eman zion Platonek, unibertsoaren ordezkari bezala, “jainkoak osotasunean erabili zuela” esanez (Timeo, 55k). Platonek dodekaedroa 360 triangelu zuzen eskalenoz osatutzat zeukan, pentagonoetan bost diagonalak eta erdibidekoak marraztuz 30 triangelu geratzen dira eta.
Lehenengo lau poliedro erregularrak unibertsoko lau elementuekin elkartzean, materiari buruzko teoria bateratu polita eman zuen Timeon; horren arabera, den-dena triangelu zuzen idealez osatuta dago eta fisiologia, bere osotasunean, materia inertearen zientziak bezala, triangelu horien funtzionamenduan oinarriturik dago. Animalia baten gorputzaren haziera, adibidez, horrela azaldu zuen:
“Kreaturaren konstituzioa, bere osotasunean, oraindik gaztea denean eta bere osagaien triangeluak oraindik egin berriak badira, bere puntak elkarrekin lotuta daude sendoki .... Elikagaiak eta edariak osatzen dituen edonolako triangelu ..., zaharragoa eta bereak baino ahulagoa denez, bere triangelu egin berriek mozten dute eta horregatik probetxu onena ateratzen du eta hori da animalia haziarazten duena.
Zahartzaroan, aldiz, gorputza osatzen duten triangeluak erabilpenagatik nasai daude eta hartzen duten elikagaiaren triangeluak ezin dituzte moztu; kanpotik datozen sarkinek bereak erraz zatitzen dituzte ordea, eta kreatura ahitu eta erori egiten da.”
Zu idazle
Zientzia aldizkaria
