Probas xeométricas
O teorema de Pitágoras non é o único que pode demostrarse por xeometría. Moitas das similitudes e diferenzas matemáticas pódense contrastar utilizando figuras xeométricas. Neste artigo presentámosche algunhas delas.
A primeira figura mostra a verificación xeométrica simple dunha das fórmulas básicas:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Na segunda figura si é similar á fórmula anterior
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
trátase da expresión xeométrica correspondente á fórmula. Obsérvese que o cadrado correspondente ao sumando b2 está dentro do rectángulo correspondente ao sumando ab e que ao cadrado a2 quítaselle dúas veces ( -2ab).
Si na figura 2 extraemos o cadrado b2 polo cadrado a2 (figura 3), a superficie trazada, 2ab, non cambia. Agora obsérvase a seguinte diferenciación:
2ab a2 + b2
Continuando coas diferenzas, a figura 4 mostra a demostración xeométrica doutra diferenciación equivalente á anterior:
4ab (a + b) 2
Calculemos agora a suma con infinito sumando (Figura 5). Engadindo a metade ao cadrado ao lado 1 obtemos 1 + 1/2 = 3/2. Sumando a esta suma a cuarta parte do cadrado temos 1 + 1/2+ + 1/4 = 3/2 + 1/4 = 7/4. Engadindo un oitavo a este último 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/4 + 1/8 = =15/8. Como se pode apreciar na figura, esta suma é inferior a 2. O seguinte sumando 1/16 pódese introducir no oco que está baleiro. No oco que queda sen cubrir sempre poderemos incluír todos os sumandos seguintes. Finalmente cubriremos o rectángulo 1x2. Por tanto,
Conseguiremos a igualdade. Os puntos que aparecen nesta igualdade indican que está infinito sumando.
Pasando a outra fórmula, calcularemos a suma dos primeiros números. Paira iso utilizaremos os cadrados básicos. (Ver figura 6).
Si continuamos así, calcularemos a suma dos n primeiros números (ver figura 7).
1 + 2 + 3 + ... + n = n (n + 1)/ 2.Utilizando
cadrados básicos podemos probar outras fórmulas. A figura 8 móstranos que as sumas dos números impares son números cadrados.
Que pasa cos números pares?. Imos velo.
A suma dos números pares non forman cadrados, senón rectángulos. (Ver figura 9).
Esta é a expresión xeométrica doutra nova fórmula.
Terminaremos coa explicación xeométrica doutra fórmula máis complicada:
13 + 23 + 33 +... + n3 == (1 + 2 +
3 + ... + n)2
a fórmula.
Seguindo a liña das expresións das fórmulas anteriores, obtemos a seguintes igualdade:
13 = 113 +
23 = 9 = 32 = (1 + 2)213 + 23 + 33 = 36
= 62 = (1 + 2 + 3)213 + 23 + 33 + 43 = 100 = 102 = (1
+ 2 + 3 + 4)2
e xeneralizando os resultados conseguiriamos dita fórmula.
Zu idazle
Zientzia aldizkaria
