Hormigón y cristal sobre una fórmula

La catedral de St. Paul de Londres estaba a punto de caer cuando iba a comenzar a construir la cúpula gigante superior, en 1697. Estaba claro que la cimentación se hundiría si se ponía demasiado piso encima y el edificio se iba a derribar. Por lo tanto, era imposible mantener el diseño original; el arquitecto Christopher Wren debía aliviar la cúpula y su linterna. ¿Pero cómo?

La solución fue totalmente innovadora en el ámbito de la arquitectura. El milagro vino de un descubrimiento del matemático Robert Hooke: la forma, la catenaria, de una cadena colgada de dos puntos, distribuye las fuerzas y las tensiones de una manera inmejorable y, volcando esta forma, mantiene la distribución de las tensiones. Por tanto, un arco construido con esta geometría es especialmente estable. Hook expresó esta idea en latín: Ut pendet continuum flexible, sic stabit contiguum rigidum inversum . Es decir, un arco rígido con volteo pero con la misma forma que un cable flexible cuelga de sus extremos.

Esta idea, además de en los arcos, también funciona en las cúpulas, si se ha creado haciendo girar la geometría del arco. Consciente de ello, Christopher Wrene ideó un novedoso diseño, una nueva estructura de tres cúpulas: dos cúpulas interiores y exteriores, surgidas de la forma de una catenaria, y una tercera intermedia para mantener el peso de la linterna. Wrene diseñó la cúpula intermedia a partir de la forma en la que se cuelga una cadena y se coloca un peso en el centro. Volteando esta forma forzada, la estructura es estable si hay una linterna en el lugar del peso. Este truco matemático de Wren canaliza las fuerzas de forma muy eficaz hacia abajo, lo que hace que, a pesar de tener tres cúpulas, todo el sistema sea lo suficientemente ligero. Tres siglos después, la catedral de St. Paul de Londres sigue en pie.

Seducción de formas

Raúl Ibáñez es matemático de la UPV. Es un geometrista dedicado a la divulgación. Divulgamat es la coordinadora de la web de divulgación, el centro virtual de divulgación matemática, entre otros. Ed. Guillermo Roa/Fundación Elhuyar

"Las casas normalmente se hacen cuadradas, pero tienes que meterle vigas muy fuertes porque si no se te cae", afirma el matemático y divulgador de la UPV Raúl Ibáñez. Ibáñez explica que las formas cuadradas (cubos) son muy buenas para acumular estructuras, pero no son estables, mientras que las formas triangulares (tetraedro) sí. "El triángulo es rígido y es, precisamente, la forma básica que sostiene muchos edificios; el edificio del BEC, muchos aeropuertos o polideportivos, las cúpulas geodésicas de Bucky Fuller, etc. son estructuras realizadas en triángulo. Los triángulos dan estabilidad a la construcción. Las grúas típicas de construcción no son edificios, pero hay un ejemplo de estabilidad, son robustas gracias a los triángulos".

Sin embargo, la aportación de las matemáticas en la estabilidad de los edificios es mucho más compleja. Varias geometrías presentan una estabilidad suficiente para soportar el edificio. De hecho, muchos prestigiosos arquitectos han basado su trabajo en esta idea. "La filosofía de los maestros Antoni Gaudí y Eduardo Torroja es que la misma forma es bella, no sólo por la estética, sino porque la forma da estabilidad al edificio", afirma Ibáñez.

El trabajo de Gaudí es muy conocido. Construyó muchos grandes edificios, que en muchos casos se han convertido en símbolos locales. Sus diseños abrieron nuevas puertas en la arquitectura y basaron la innovación no sólo en el concepto estético, sino también en las matemáticas. "Gaudí llevó al extremo el uso de la catenaria", explica Ibáñez. "Destacan el colegio de los Teresianos de Barcelona, la casa Batlló y, sobre todo, la casa Milá, conocida comúnmente como La Pedrera. La terraza superior es un recorrido de catenaria alrededor de toda la casa".

Rogelio Diez es ingeniero. Participó en el proyecto del Museo Guggenheim Bilbao en la empresa IDON. Ellos adaptaban las ideas de Gehry al contexto de Bilbao. Ed. © Rogelio Diez

La búsqueda de formas geométricas que aporten estabilidad era un gran trabajo. Gaudí pasaba mucho tiempo buscando la geometría necesaria. Pasó diez años, por ejemplo, en el diseño de la iglesia de la colonia Güell. Trabajaba sobre una maqueta, de forma similar a la realizada doscientos años antes por Christopher Wrene, es decir, añadiendo cordones y pesos en una maqueta suspendida mentalmente. "La maqueta de la iglesia de la colonia Güell era de seis metros de largo y cuatro de alto", afirma Ibáñez. "La escala era 1:10 en tamaño y 1:10.000 en peso. Al terminar, sacó una foto, volcó la imagen y dibujó lo que debía ser la iglesia. Gaudí era muy especial. Pero, claro, luego tenía que fabricar esas formas. Para crear las formas deseadas utilizaba paraboloides, hiperboloides y todo tipo de elementos geométricos. Desgraciadamente aquella iglesia no terminó de construirse". Pero tanto estos edificios como la iglesia de la Sagrada Familia son fantasías matemáticas de Gaudí, mejor dicho, fantasías geométricas. "Para él, además, las matemáticas y la geometría eran cosas únicas", dice Ibáñez sonriente, porque él era un geometrista.

XX. El madrileño Eduardo Torroja de principios del siglo XX también es considerado maestro por los arquitectos, aunque no era arquitecto. Era ingeniero de caminos. No es tan conocido como Gaudí, en palabras de Ibáñez "quizá porque no construyó muchos edificios monumentales y los que hizo fueron derribados en la Guerra Civil española". Pero tenía mucho sentido y fue excepcional en la explotación de recursos matemáticos para conseguir la estabilidad. Un buen ejemplo es la cubierta del hipódromo de la Zarzuela en Madrid. Está basado en hiperboloides monosuperficiales: un recurso geométrico habitual en la arquitectura actual para la construcción de construcciones fantásticas.

Mantener la respiración al soltar la estructura

La cúpula de la catedral londinense de St. Paul es completamente innovadora en arquitectura. Christopher Wrene diseñó tres cúpulas partiendo de la forma de la catenaria. El estudio de esta forma era una matemática puntera. A finales del siglo XX. Ed. © Jan Skwara/350RF

Es cierto que la geometría de los edificios no es el único factor a considerar. Estas geometrías son estructuras físicas. El estadio de los Juegos Olímpicos de 2008, el Estadio Nacional de Beijing, es un ejemplo representativo. Se le llama nido. El seudónimo es apropiado porque se trata de un nido fabricado por un pájaro: la estructura está formada por un gran grupo de tirantes, aparentemente caótico, pero con una matemática muy compleja en su diseño. En su construcción se instalaron los tirantes uno a uno y luego se unieron para crear una única estructura. Durante el proceso de construcción se emplearon muchos soportes para mantener los tirantes donde era necesario. Y cuando todos estaban unidos, se retiraron los soportes. Muy despacio, pero en todo el estadio a la vez. En definitiva, la estructura estable del edificio debía "liberarse" y mantenerse de pie por sí misma, con una geometría concreta y precisa. Fue un momento especial. Los constructores aguantaron la respiración y pulsaron el botón que quitaba los apoyos.

¿Qué puede pasar? ¿Caída del edificio al suelo? El ingeniero Rogelio Diez cree que no. Diez está incluido en el proyecto del Museo Guggenheim Bilbao desde 1992. Cuando construyeron el edificio trabajaba en la empresa IDON, que adaptaban el concepto de que venía de la oficina del arquitecto Frank Gehry a la realidad de Bilbao para poder construir el museo. Por eso, Diez vio muy de cerca la construcción del museo. "[En edificios singulares] ¿cuáles son los riesgos? Pues no sé... pero puede haber un error, por ejemplo, en el tamaño de una pieza".Pero hoy en día todo está muy bien calculado. "Ya sabes la fuerza que va a soportar cada elemento al retirar el andamio. Y sabes que estos elementos serán de fácil conservación. Los programas informáticos que simulan la realidad son muy precisos en la actualidad; tienen una precisión milimétrica".

El estadio de Beijing no cayó. Al no ser materiales totalmente rígidos, toda la estructura presentaba un punto de flexibilidad. En consecuencia, al retirar los apoyos, el estadio debía adoptar la forma final. Debía asentarse y así lo hizo. Los expertos disponían de numerosos sensores para medir esta fijación y relajación. En algunos lugares había una distancia aproximada de 20 centímetros desde la posición del andamio hasta la posición final. Tal y como se calcula.

La maqueta fue elaborada por Gaudí para diseñar la iglesia de la colonia Güell. Colgó al revés y probó durante diez años las catenarias para completar su estructura. Ed. Canaan/CC_BY-SA

Esta liberación del edificio se produce, en mayor o menor medida, con numerosos edificios modernos. Con estructuras similares al Museo Guggenheim Bilbao, además, hay una razón adicional para tener un momento de nerviosismo: los elementos del edificio no son autónomos individualmente. "La estructura no es estable hasta que esté totalmente terminada", dice Diez. "Fue un quebradero de cabeza. Tú sabes que un volumen es estable porque tiene una geometría determinada y la topología es cerrada. Pero la mitad de un elemento, por ejemplo, no es estable. Por ello, no son estables hasta que se montan todos los elementos juntos."

La estrella de Bilbao

El Museo Guggenheim Bilbao está realizado en tres capas. Presenta en primer lugar una estructura primaria con los elementos básicos del edificio. La segunda capa es una estructura más ligera de aluminio que le daría la forma diseñada por Gehry. Y el tercero es la superficie exterior, es decir, la capa de láminas de titanio que le dan forma exterior; en realidad se trata de placas galvanizadas, material impermeable y encima titanio. Gracias a esta estructura estratigráfica, el edificio presenta una forma fantástica.

Imagen de un lucero de la Sagrada Familia desde el interior. En este tipo de estructuras, Gaudí utilizaba paraboloides, hiperboloides y muchas otras formas geométricas para construir formas espectaculares. Ed. © Constantin Yolshin/350RF

"En el Museo Guggenheim el exterior son las superficies de Bezier", explica el matemático Raúl Ibáñez. "Las superficies Bezier son útiles porque crean una forma estable a partir de unos puntos determinados por el arquitecto". En su origen, las curvas y superficies de Bezier se emplearon en la industria del automóvil. Un ingeniero de la empresa Renault, el francés Pierre Bezier, utilizó el diseño de sus coches. Matemáticamente son poco complejos y son buenos recursos para crear formas estables y aerodinámicas. "Matemáticamente es la generalización del paraboloide hiperbólico e hiperboloide", afirma Ibáñez. Las curvas y superficies de Bezier llegaron desde el sector de automoción a programas de diseño gráfico. Se usaban en programas CAD y luego tuvieron éxito en los recursos de tratamiento de gráficos. Photoshop es un buen ejemplo en el campo del tratamiento de imágenes, pero no es el único. Y es que Bezier se ha convertido en una invención estándar.

Asimismo, en ingeniería y arquitectura también se utilizan diariamente las curvas Bezier. El diseñador no debe crear todas las formas con gran precisión. Partiendo de una maqueta básica, el software calcula estas formas. Así nace el Museo Guggenheim Bilbao con el programa CATIA. De hecho, era un software desarrollado para la industria aeronáutica.

"Frank Gehry, cuando tiene una idea, trabaja esta idea sobre unas maquetas", afirma el ingeniero Rogelio Diez. "Realiza una maqueta de todo el edificio y maquetas de diferentes volúmenes. Básicamente es papel y cartón. Son maquetas blandas. Él no talla nada. Y cuando da por terminadas las maquetas las digitaliza a través de un lápiz óptico: marcando los puntos del volumen de la maqueta en el espacio, introduce esos datos al ordenador. Y las superficies las calcula el propio ordenador. Yo en aquella época sólo conocía la digitalización de un plano. Empecé a ver a Gehry haciendo lo mismo en tres dimensiones".

El Estadio Nacional de Beijing, alias Habia, una estructura aparentemente caótica, pero en la práctica un claro ejemplo de matemática de estabilidad. Ed. Peter23/CC_BY

El resultado es una maqueta virtual con la parte geométrica realizada. Pero el trabajo del ordenador no ha hecho más que empezar. Simulación física del modelo tridimensional. Para ello se accede a otro programa y se calcula la fuerza y tensión que soporta cada elemento.

"La fuerza principal a tener en cuenta es la fuerza de gravedad", explica Diez. "El viento también hay que tenerlo en cuenta, no hay que descartarlo del todo, pero la fuerza principal es la gravedad. Todos los esfuerzos de la gravedad se dirigirán a la cimentación a través de los componentes de la estructura del edificio. Por lo tanto, introduciendo los datos de los componentes en el ordenador y la distribución de todas las cargas, el ordenador te indicará dónde debes añadir una columna. A veces eso no es factible y entonces el instinto y la mente son fundamentales. Cambia y vuelve al ordenador". Y este proceso se genera con repeticiones suficientes. El Museo Guggenheim Bilbao nació así en el ordenador. "Algunas características del diseño de Gehry no se podían hacer y hubo que añadir más elementos. La galería más grande, por ejemplo, tiene arcos adicionales cubiertos de pladur."

La fantasía cae también

El diseño del edificio del Museo Guggenheim Bilbao no se basa en una sola forma matemática. Es una combinación compleja y estable por la integración de todas las partes. Si se cogen por separado no estarían de pie. Ed. © Guggenheim Bilbao

Los edificios se construyen con gran trabajo de geometría. Y así se obtienen, por ejemplo, edificios que aparentemente deberían caer pero no caen. No obstante, hay que tener en cuenta un último factor. Diez lo tiene claro: "Creo que todas las cosas tienen una fecha de caducidad. Los edificios no son para siempre. No preguntes si van a durar ciento o doscientos años, eso no se puede saber". Los materiales de construcción tienen mucho que ver. "Se sabe que una estructura de madera dura unos 300 años. Sabemos que las estructuras de hormigón duran más de cien años, pero todavía no hay edificios de hormigón armado construidos hace 300 años. Se desconoce su duración. La estructura del Museo Guggenheim Bilbao es de hormigón armado y metal. Parece que durará mucho sin caer al suelo, pero no sabemos". Por eso se realiza una auditoría al Museo Guggenheim Bilbao. La topografía da milímetros de precisión a los del grupo Diez para saber cuánto se mueve el edificio. "Todos los edificios están en un movimiento continuo".

A la vista atrás de la historia, hay edificios fantásticos que han caído y no han caído. De todos ellos han aprendido arquitectos e ingenieros. Además de ofrecer un tema de estudio sobre la duración de los edificios, abren una nueva puerta para analizar cómo se construyeron construcciones fantásticas con tecnología limitada de antaño. La arquitectura europea de hace ocho siglos, por ejemplo, es ejemplar. En el norte de Francia se inventaron catedrales de fantasía. Sorprende cómo lo hicieron.

Ampollas jabonosas en diseño

El símbolo de los Juegos Olímpicos de Munich de 1972 fue el estadio. La cubierta tiene forma de tela, es como si el estadio y sus alrededores estuvieran cubiertos por unas telas gigantes. Para la realización de esta estructura, el arquitecto Frei Otto utilizó ampollas jabonosas, ya que la combinación de ampollas genera superficies minimales y su aspecto es muy estable. Son superficies de superficie mínima y geometrías con mínima tensión superficial en el caso del jabón.

El Estadio Olímpico de Munich fue diseñado por el arquitecto Frei Otto. Para ello sumergía los palos y cordones en una bañera llena de ampollas jabonosas y definió la estructura a partir de las ampollas que se pegaban a ellas. Ed. Arad Mojtahedi/Dominio Público

Una sola ampolla de jabón es una esfera. "Pero la esfera no es una geometría estable", afirma el matemático de la UPV Raúl Ibáñez. "No se trata de una superficie minimal, sino de un punto crítico, por lo que presenta problemas de estabilidad muy elevados". Prácticamente cualquier cambio producido en una esfera altera sustancialmente su estabilidad. Se rompe y cae. Por el contrario, la combinación de ampollas y las ampollas asociadas a distintas estructuras proporcionan superficies minimales.

Es lo que hizo Frei Otto para diseñar el estadio de Munich. Ibáñez dice que es un ejemplo típico: "Otto investigaba y construía la estructura creando una estructura con palos y cordones y sumergiéndola en una bañera llena de ampollas de jabón. Luego lo sacaba y lo analizaba".