Matemáticas en el mundo financiero
Solicitud de préstamo
Tenemos que comprar la casa. Cuesta mucho y el dinero que tenemos no es suficiente. ¿De dónde sacamos lo que nos falta? Hace tiempo que se inventó el prestamista. En la actualidad, los bancos son los principales responsables de esta obligación.
Hemos ido al banco y hemos pedido los doce millones que necesitamos. Al margen de las garantías, etc. (no por falta de importancia, sino porque no tienen nada que ver con los cálculos), tenemos que definir otras cosas: ¿cuánto tiempo devolveremos el dinero y cuál es el tipo de interés? Una vez conocidos, se determina la cantidad que vamos a abonar mensualmente al banco. Se necesitan matemáticas, pero no es difícil hacer la cuenta: ¿cuánto dinero serían si dentro de los doce millones de quince años de hoy aumentaran un 0,50% en el mes? Para las M pesetas que pagamos mensualmente, hay que hacer un cálculo similar, teniendo en cuenta los meses que restan a cada pago para cumplir los quince años. Para que sean iguales obtenemos un valor para M. Pagar tantas pesetas al mes y listo. Estos cálculos y fórmulas se enseñan en la escuela. La verdad es que aunque la justificación de la fórmula es un poco más difícil de contar que el dinero, no se puede decir que haya que utilizar las Matemáticas a nivel alto. Las fórmulas son muy conocidas y están en manos de cualquiera.
Conociendo el funcionamiento básico de la argumentación, también es fácil valorar otras posibilidades que ofrece el banco: si después de tres años decidimos pagar un millón de pesetas en un pago para aliviar nuestra deuda con el banco, ¿cuánto hay que bajar la cuota mensual? ¿O hasta cuándo tenemos que seguir pagando si queremos aprovechar la oportunidad de acortar el plazo de amortización? ¿Cómo se modifica la cuota mensual si el tipo de interés es variable y se procede a su revisión transcurrido un año?
La matemática del mundo de los préstamos es sencilla. Además de eso, es viejo y aunque pase el tiempo, las fórmulas se pueden aplicar sin cambios y con cálculos "pequeños". Saldar deudas es más difícil que hacer estas cuentas matemáticas...
Nuevos productos
El 10 de noviembre tenemos que realizar un pago de 5 millones para hacer realidad un negocio. Para ello utilizaremos el dinero que incluimos en las acciones de K. Viendo la cotización actual de las acciones en bolsa, si vendimos tantas acciones como sean necesarias y compramos letras de interés fijo con el dinero obtenido, estamos seguros de que el día 10 de noviembre estaremos en condiciones de realizar un pago de cinco millones.
Sin embargo, a la vista de la evolución accionarial de K, nos gustaría no vender ahora. Se está estudiando la segunda opción, la venta el 10 de noviembre. Si el precio de las acciones aumentase respecto a las letras de interés fijo, para conseguir los cinco millones tendríamos que vender menos que hoy y saldríamos ganando, pero el precio también puede bajar y entonces... Esta segunda opción corre el riesgo y nadie nos dirá ahora qué les pasará a las acciones dentro de unos meses.
¿Y si alguien nos compra las acciones al menos el 10 de noviembre al precio fijado hoy? Es decir, queremos comprar una oportunidad: el 10 de noviembre queremos encontrar a alguien dispuesto a pagar la P peseta por cada acción de K, al menos hasta un número de acciones, independientemente del precio que tengan en bolsa ese día. Después, llegado el día, haremos lo que más nos convenga a nosotros, vendiendo en el mercado o acudiendo a vender a quien nos ha firmado la oportunidad. Esta tercera opción tiene las ventajas de la segunda, pero sin riesgos. ¿Es posible conseguirlo?
En este ejemplo, a diferencia de la solicitud de préstamo, ahora no tenemos falta de dinero, pero dado que el día en el que vamos a tener que utilizar el dinero está lejos, nos gustaría idear una estrategia adecuada para no perder los beneficios que puede ofrecer el mercado, manteniendo la garantía que tenemos ahora para hacer frente al pago.
Aunque parezca sorprendente, hay productos financieros como éste y cada vez más. Estos stocks ópticos, tan citados últimamente en los medios de comunicación, no son más que el derecho a adquirir acciones a un precio prefijado en fechas determinadas. Se denominan opciones europeas cuando se debe decidir si se va a llevar a cabo o no en el día antes mencionado y si es posible que los americanos se lleven a cabo en cualquier momento hasta el último día.
El papel de las matemáticas
Pongámonos ahora al otro lado, al lado del vendedor de productos. Si el cliente nos hace una propuesta como los anteriores, nosotros asumimos el riesgo que pierde. A cambio le pediremos que pague la prima tal y como solicitan las aseguradoras. ¿Cuánto hay que cobrar? La cuestión es medir, valorar y poner precio. Además el precio debe ser aceptado por ambas partes.
Aquí aparece Matemáticas. Al igual que en otras ciencias, es necesario elaborar un modelo matemático. Determinar cuáles son las variables significativas, establecer relaciones entre ellas y escribir una ecuación; el camino de la modelización es el siguiente.
Sin embargo, el modelo que se elabora no sirve para predecir la realidad. En física, por ejemplo, conociendo las ecuaciones de la descripción del movimiento y los datos de hoy, podemos saber dónde estará la Luna dentro de ocho meses y cuál será el recorrido del cohete que emitimos desde la Tierra, y si hacemos bien los cálculos, podemos conseguir que el cohete se encuentre en la Luna en el día prefijado (siempre y cuando sea posible superar barreras técnicas).
En economía las Matemáticas no lo hacen. Quede claro, por tanto, que no hay un modelo de previsión de la evolución bursátil dentro de ocho meses. No es posible determinar la actitud de los inversores. ¿Habéis imaginado alguna vez desde la televisión qué pasaría si hicieran el pronóstico "científico" de la Bolsa como nos anuncian el tiempo? Las ecuaciones matemáticas anunciarían la bajada de algunas acciones para mañana, los inversores venderlas a la rampa y convertirían lo que había que ser un pequeño descenso en una enorme cantidad, negando lo dicho por las ecuaciones.
En los productos financieros la función de las Matemáticas no es predecir, sino valorar. Tener en cuenta todas las opciones (dentro de los límites que puede tener decir "todas"), poner en valor la probabilidad de cada una de ellas, decidir los valores de los parámetros y extraer finalmente un número del modelo necesario que debemos pedir al cliente. Cuando el comprador no aprovecha la oportunidad, la prima se gana, pero si no, nosotros tenemos que cubrir la diferencia entre el mercado y el precio preestablecido. Para no ir al desastre es imprescindible saber valorarlo bien.
Historial de valoración
XVIII. A finales del siglo XX Daniel Bernoulli escribió un artículo sobre la medida del riesgo, utilizando el concepto de varianza que se utiliza en la Estadística. En 1900 el francés Louis Bachelier presentó en París su tesis doctoral titulada Thžorie de la SpŽculation. Dirigió el prestigioso Henri Poincarn. Al parecer, el tema no era del agrado de Poincarés y durante muchos años la obra de Bachelier quedó desconocida. Propuso un movimiento browniano para la evolución de los precios de los activos, concepto que surge en Biología en la tesis de Bachelier antes de su uso en Física y Matemáticas por Einstein.
Los libros publicados en 1947 y 1948 por el prestigioso economista Paul Samuelson se convirtieron en un pilar básico para la Economía. En opinión de Samuelson, sin perder tiempo en las palabras y en los ejercicios mentales, los economistas tenían que buscar la luz por el camino de las Matemáticas, no porque las Matemáticas darían la solución a todos los problemas, sino porque era la base para entender la situación. En la década de los 60 introdujo un cambio en el modelo de Bachelier, haciendo que el movimiento browniano no se refiera a los beneficios de los activos sino a los precios. Samuelson recibió el Premio Nobel en 1970; el profesor Lindbeck comenzó su presentación de la siguiente manera: "Una de las principales características de la evolución económica de las últimas décadas es el creciente grado de formalización de las técnicas analíticas, muchas veces con métodos matemáticos".
Años después se produjo un profundo cambio, la fórmula de Black-Scholes, tan famosa para los economistas. El primer mercado de derivados financieros de Chicago se inició el mismo año 1973 (los citados productos se denominan derivados por depender de la evolución de otros). La aplicación de esta fórmula y de otros recursos ofrecidos por la Economía Matemática en el mercado no tardó en entrar en vigor, lo que ha supuesto en los últimos años un espectacular crecimiento del mercado de derivados. Nacieron en España en 1990: En Barcelona de renta fija y en Madrid de renta variable, porque estos derivados también se venden y se compran en el mercado, sólo hay que mirar en las páginas económicas de las revistas de verificación.
Tres economistas están vinculados a la nueva formulación: Fischer Black y Robert Merton de Estados Unidos y Myron Scholes de Canadá. Los dos últimos recibieron el Premio Nobel en 1997, salvo que el Black muriera dos años antes. Robert Merton adquirió una sólida formación matemática y entró en el Instituto de Tecnología de California en 1966 con la intención de doctorarse en Matemática Aplicada, pero un año después decidió pasar a Economía, fue aceptado en el MIT y, siendo todavía muy joven, se convirtió en colaborador de Samuelson. Allí se reunió con Black y Scholes. Black empezó en Física, se doctoró en Matemática aplicada y terminó en Economía. La trayectoria académica de Scholes estuvo más cerca de la Economía, pero cuando empezó a realizar la tesis, tuvo que trabajar también en computación en la Universidad de Chicago.
Los tres trabajaron en el problema de poner precio a los productos derivados. Valiéndose de unas ideas básicas fueron capaces de escribir una ecuación de las derivadas parciales, resolviendo la ecuación y extrayendo la fórmula de Black-Scholes. El artículo titulado "The pricing of options and corporate liabilities" (1973) es uno de los más citados en la literatura científica. Merton ideó una nueva vía para sacar la fórmula en un trabajo escrito en el mismo año y agilizar algunas hipótesis. Fue muy importante intentar introducir algunas ideas en la formulación, ya que permiten obtener probabilidades objetivas en lugar de los datos dudosos del futuro, que aunque no son reales, el resultado final es el mismo. Asimismo, resultó decisivo reconocer que el mercado tiende al equilibrio y excluye por sí mismo una situación conocida como arbitraje (obtención de ingresos).
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