Matemàtiques en el món financer
Sol·licitud de préstec
Hem de comprar la casa. Costa molt i els diners que tenim no és suficient. D'on traiem el que ens falta? Fa temps que es va inventar el prestador. En l'actualitat, els bancs són els principals responsables d'aquesta obligació.
Hem anat al banc i hem demanat els dotze milions que necessitem. Al marge de les garanties, etc. (no per falta d'importància, sinó perquè no tenen res a veure amb els càlculs), hem de definir altres coses: quant temps retornarem els diners i quin és el tipus d'interès? Una vegada coneguts, es determina la quantitat que abonarem mensualment al banc. Es necessiten matemàtiques, però no és difícil fer el compte: quants diners serien si dins dels dotze milions de quinze anys d'avui augmentessin un 0,50% en el mes? Per a les M pessetes que paguem mensualment, cal fer un càlcul similar, tenint en compte els mesos que resten a cada pagament per a complir els quinze anys. Perquè siguin iguals obtenim un valor per a M. Pagar tantes pessetes al mes i llest. Aquests càlculs i fórmules s'ensenyen a l'escola. La veritat és que encara que la justificació de la fórmula és una mica més difícil de contar que els diners, no es pot dir que calgui utilitzar les Matemàtiques a nivell alt. Les fórmules són molt conegudes i estan en mans de qualsevol.
Coneixent el funcionament bàsic de l'argumentació, també és fàcil valorar altres possibilitats que ofereix el banc: si després de tres anys decidim pagar un milió de pessetes en un pagament per a alleujar el nostre deute amb el banc, quant cal baixar la quota mensual? O fins quan hem de continuar pagant si volem aprofitar l'oportunitat d'escurçar el termini d'amortització? Com es modifica la quota mensual si el tipus d'interès és variable i es procedeix a la seva revisió transcorregut un any?
La matemàtica del món dels préstecs és senzilla. A més d'això, és vell i encara que passi el temps, les fórmules es poden aplicar sense canvis i amb càlculs "petits". Saldar deutes és més difícil que fer aquests comptes matemàtics...
Nous productes
El 10 de novembre hem de realitzar un pagament de 5 milions per a fer realitat un negoci. Per a això utilitzarem els diners que incloem en les accions de K. Veient la cotització actual de les accions en borsa, si vam vendre tantes accions com siguin necessàries i comprem lletres d'interès fix amb els diners obtinguts, estem segurs que el dia 10 de novembre estarem en condicions de realitzar un pagament de cinc milions.
No obstant això, a la vista de l'evolució accionarial de K, ens agradaria no vendre ara. S'està estudiant la segona opció, la venda el 10 de novembre. Si el preu de les accions augmentés respecte a les lletres d'interès fix, per a aconseguir els cinc milions hauríem de vendre menys que avui i sortiríem guanyant, però el preu també pot baixar i llavors... Aquesta segona opció corre el risc i ningú ens dirà ara què els passarà a les accions d'aquí a uns mesos.
I si algú ens compra les accions almenys el 10 de novembre al preu fixat avui? És a dir, volem comprar una oportunitat: el 10 de novembre volem trobar a algú disposat a pagar la P pesseta per cada acció de K, almenys fins a un nombre d'accions, independentment del preu que tinguin en borsa aquest dia. Després, arribat el dia, farem el que més ens convingui a nosaltres, venent en el mercat o acudint a vendre a qui ens ha signat l'oportunitat. Aquesta tercera opció té els avantatges de la segona, però sense riscos. És possible aconseguir-ho?
En aquest exemple, a diferència de la sol·licitud de préstec, ara no tenim falta de diners, però atès que el dia en què haurem d'utilitzar els diners està lluny, ens agradaria idear una estratègia adequada per a no perdre els beneficis que pot oferir el mercat, mantenint la garantia que tenim ara per a fer front al pagament.
Encara que sembli sorprenent, hi ha productes financers com aquest i cada vegada més. Aquests estocs òptics, tan citats últimament en els mitjans de comunicació, no són més que el dret a adquirir accions a un preu prefixat en dates determinades. Es denominen opcions europees quan s'ha de decidir si es durà a terme o no en el dia abans esmentat i si és possible que els americans es duguin a terme en qualsevol moment fins a l'últim dia.
El paper de les matemàtiques
Posem-nos ara a l'altre costat, al costat del venedor de productes. Si el client ens fa una proposta com els anteriors, nosaltres assumim el risc que perd. A canvi li demanarem que pagui la prima tal com sol·liciten les asseguradores. Quant cal cobrar? La qüestió és mesurar, valorar i posar preu. A més el preu ha de ser acceptat per totes dues parts.
Aquí apareix Matemàtiques. Igual que en altres ciències, és necessari elaborar un model matemàtic. Determinar quines són les variables significatives, establir relacions entre elles i escriure una equació; el camí de la modelització és el següent.
No obstant això, el model que s'elabora no serveix per a predir la realitat. En física, per exemple, coneixent les equacions de la descripció del moviment i les dades d'avui, podem saber on estarà la Lluna dins de vuit mesos i quin serà el recorregut del coet que emetem des de la Terra, i si fem bé els càlculs, podem aconseguir que el coet es trobi en la Lluna en el dia prefixat (sempre que sigui possible superar barreres tècniques).
En economia les Matemàtiques no ho fan. Quedi clar, per tant, que no hi ha un model de previsió de l'evolució borsària dins de vuit mesos. No és possible determinar l'actitud dels inversors. Heu imaginat alguna vegada des de la televisió què passaria si fessin el pronòstic "científic" de la Borsa com ens anuncien el temps? Les equacions matemàtiques anunciarien la baixada d'algunes accions per a demà, els inversors vendre-les a la rampa i convertirien el que calia ser un petit descens en una enorme quantitat, negant el que s'ha dit per les equacions.
En els productes financers la funció de les Matemàtiques no és predir, sinó valorar. Tenir en compte totes les opcions (dins dels límits que pot tenir dir "totes"), posar en valor la probabilitat de cadascuna d'elles, decidir els valors dels paràmetres i extreure finalment un número del model necessari que hem de demanar al client. Quan el comprador no aprofita l'oportunitat, la prima es guanya, però si no, nosaltres hem de cobrir la diferència entre el mercat i el preu preestablert. Per a no anar al desastre és imprescindible saber valorar-lo bé.
Historial de valoració
XVIII. A la fi del segle XX Daniel Bernoulli va escriure un article sobre la mesura del risc, utilitzant el concepte de variància que s'utilitza en l'Estadística. En 1900 el francès Louis Bachelier va presentar a París la seva tesi doctoral titulada Thžorie de la SpŽculation. Va dirigir el prestigiós Henri Poincarn. Pel que sembla, el tema no era del grat de Poincarés i durant molts anys l'obra de Bachelier va quedar desconeguda. Va proposar un moviment browniano per a l'evolució dels preus dels actius, concepte que sorgeix en Biologia en la tesi de Bachelier abans del seu ús en Física i Matemàtiques per Einstein.
Els llibres publicats en 1947 i 1948 pel prestigiós economista Paul Samuelson es van convertir en un pilar bàsic per a l'Economia. En opinió de Samuelson, sense perdre temps en les paraules i en els exercicis mentals, els economistes havien de buscar la llum pel camí de les Matemàtiques, no perquè les Matemàtiques donarien la solució a tots els problemes, sinó perquè era la base per a entendre la situació. En la dècada dels 60 va introduir un canvi en el model de Bachelier, fent que el moviment browniano no es refereixi als beneficis dels actius sinó als preus. Samuelson va rebre el Premi Nobel en 1970; el professor Lindbeck va començar la seva presentació de la següent manera: "Una de les principals característiques de l'evolució econòmica de les últimes dècades és el creixent grau de formalització de les tècniques analítiques, moltes vegades amb mètodes matemàtics".
Anys després es va produir un profund canvi, la fórmula de Black-Scholes, tan famosa per als economistes. El primer mercat de derivats financers de Chicago es va iniciar el mateix any 1973 (els citats productes es denominen derivats per dependre de l'evolució d'uns altres). L'aplicació d'aquesta fórmula i d'altres recursos oferts per l'Economia Matemàtica en el mercat no va trigar a entrar en vigor, la qual cosa ha suposat en els últims anys un espectacular creixement del mercat de derivats. Van néixer a Espanya en 1990: A Barcelona de renda fixa i a Madrid de renda variable, perquè aquests derivats també es venen i es compren en el mercat, només cal mirar en les pàgines econòmiques de les revistes de verificació.
Tres economistes estan vinculats a la nova formulació: Fischer Black i Robert Merton dels Estats Units i Myron Scholes del Canadà. Els dos últims van rebre el Premi Nobel en 1997, tret que el Black morís dos anys abans. Robert Merton va adquirir una sòlida formació matemàtica i va entrar en l'Institut de Tecnologia de Califòrnia en 1966 amb la intenció de doctorar-se en Matemàtica Aplicada, però un any després va decidir passar a Economia, va ser acceptat en el MIT i, sent encara molt jove, es va convertir en col·laborador de Samuelson. Allí es va reunir amb Black i Scholes. Black va començar en Física, es va doctorar en Matemàtica aplicada i va acabar en Economia. La trajectòria acadèmica de Scholes va estar més prop de l'Economia, però quan va començar a realitzar la tesi, va haver de treballar també en computació en la Universitat de Chicago.
Els tres van treballar en el problema de posar preu als productes derivats. Valent-se d'unes idees bàsiques van ser capaces d'escriure una equació de les derivades parcials, resolent l'equació i extraient la fórmula de Black-Scholes. L'article titulat "The pricing of options and corporate liabilities" (1973) és un dels més citats en la literatura científica. Merton va idear una nova via per a treure la fórmula en un treball escrit en el mateix any i agilitar algunes hipòtesis. Va ser molt important intentar introduir algunes idees en la formulació, ja que permeten obtenir probabilitats objectives en lloc de les dades dubtoses del futur, que encara que no són reals, el resultat final és el mateix. Així mateix, va resultar decisiu reconèixer que el mercat tendeix a l'equilibri i exclou per si mateix una situació coneguda com a arbitratge (obtenció d'ingressos).
Zu idazle
Zientzia aldizkaria
