Sur le dernier théorème de Fermat

Duoandikoetxea Zuazo, Javier

EHUko matematika irakaslea

Le 23 juin 1993, à l'Institut Newton de l'Université de Cambridge, Andrew J terminait sa session en trois conférences. Wiles, mathématicien anglais, professeur à l'Université de Princeton, a écrit à la suite du théorème testé: si p est le nombre premier, supérieur à 2, u, v, et w sont rationnels et up + vp + wp = 0, puis uvw = 0.

Les mathématiciens qui écoutaient bientôt réalisé que Wiles paralysait le problème compliqué des mathématiques, connu comme le «théorème de Fermat". Bientôt les nouvelles ont été étendues à tous les mathématiciens du monde. Aussi à ceux qui n'étaient pas des mathématiciens, comme témoins de citations de journaux, radio et télévision. Le manuscrit de Wiles, cependant, était entre les mains de quelques-uns, car l'auteur ne voulait pas le publier jusqu'à ce qu'il ne vérifie pas tous les aspects techniques contenus dans la démonstration.

Et il semble qu'une partie avait des lacunes (pas des erreurs) et jusqu'à ce que le dernier théorème de Ferma les ait couvertes devrait rester un problème ouvert. Avec ce doute, j'ai fermé la première version de l'article, mais selon une nouvelle qui a été élargie il ya quelques jours, ont fait le calcul qui manquait et même si nous devons attendre l'approbation des experts, il semble que cette fois, nous pouvons mettre le nom de théorème dans son vrai sens au résultat que nous a proposé Fermat.

Fermat

L'homme qui donne son nom au problème, Pierre de Fermat, est né en 1601 à Beaumont de Lomagne, un village gascon situé dans l'actuel département de Tarn et Garonne. Il était un fils de famille aisé (son père était commerçant) et a étudié les lois dans les universités de Toulouse, Bordeaux et Orléans. À partir de 1631, il a travaillé comme avocat au Parlement de Tolosa.

Et c'est que, avec Newton et Leibniz, le XVII. Fermat était au sommet des mathématiques du XXe siècle, il n'a jamais été entièrement consacrée à la mathématique, mais en dehors du travail. Mais la structure des universités de cette époque était très différente de celle actuelle, et l'avancement des sciences est souvent venu de scientifiques non professionnels. Il mourut à Castres en 1655.

Au cours de son séjour à Bordeaux, Fermat a apparemment servi à étudier les travaux du mathématicien François Viète et de la simplicité de sa rédaction symbolique. Nous disons aussi que Viète était plus connue en son temps comme politique et fut conseiller personnel d'Henri IV (Henri III de Navarre). Les contributions de Fermat peuvent être vues dans tous les domaines des mathématiques: Il a donné les débuts de la géométrie analytique à la même époque de Descartes, a proposé des méthodes de calcul des maxima et minima et de réalisation de quadratures dans l'analyse, bien que bientôt les calculs infinitésimaux de Newton et Leibniz ont été obscurcis et émergé comme un champ indépendant avec la même théorie des nombres, comme on dit.

Dans l'optique, la loi de la réfraction de la lumière est également appelé principe de Fermat et dans les débuts de la probabilité apparaît à côté de Pascal. Cependant, il n'a pas encore joui d'une grande popularité, car il n'a pas publié de livres. Ses œuvres nous sont parvenues dans des lettres, des petites œuvres et des manuscrits. La simple mention de toutes les contributions nous prendrait beaucoup de temps et ici nous nous unissons à l'évolution du dernier théorème de Fermat.

Nous devons aller au grec à la recherche des premières traces, qui pour la première fois ont traité les chiffres et les figures géométriques. d. d. C. III. Au XIXe siècle, le mathématicien établi à Alexandrie Diophante a écrit quelques livres dans lesquels il a recueilli la connaissance de l'arithmétique grecque. Ces livres ont été traduits en arabe et leur influence sur les mathématiques arabes était évidente. Au Moyen Age, quand ils sont arrivés à l'ouest de l'Europe, il ne restait que six des quatorze primitifs. Quatre des sept livres perdus récemment ont été trouvés dans le Messed d'Iran, en 1971, dans la traduction arabe.

L'homme qui donne son nom au problème, Pierre de Fermat, est né en 1601 à Beaumont de Lomagne, un village gascon situé dans l'actuel département de Tarn et Garonne. Il mourut à Castres en 1655.

Ces six figures antiques furent publiées par Bachet de Mériziac en 1621, ajoutant au grec la traduction et les commentaires en latin. Ce fut la principale source de résultats de la théorie des nombres pour Ferma. En effet, dans le même livre, Fermat écrivait ses notes et commentaires et, après la mort de son fils, il les publiait avec les notes du père Arithmetica de Diofanto.

Les premières traces du problème qui nous occupe se trouvent dans les triples pythagoriciens, c'est-à-dire dans le calcul de nombres entiers qui remplissent l'équation x 2 + et 2 = z 2. Par exemple (3, 4, 5) ou (5, 12, 13). Avec un peu de travail, vous pouvez également obtenir une formule qui donne tous. Fermat a proposé d'utiliser tout autre exposant au lieu de questions généralisées et carrées. Et à une extrémité du livre mentionné Arithmetica a écrit: « Il est impossible de diviser un cube en deux cubes, et un découvert en deux paires ou, en général, tout autre remodelage non carré, en deux légumes du même exposant. J’en ai trouvé une merveilleuse démonstration, mais ce bord de page est trop petit pour y entrer.» C'est-à-dire,

x n + et n = z n

Fermat a défendu que l'équation n'a pas une solution très positive quand n est plus grand que deux. Dans d'autres résultats, il nous a laissé sans preuves est resté seulement indémontrable quelques années plus tard, et c'est pourquoi il est appelé le dernier théorème de Fermat, bien que le résultat non prouvé ne mérite pas le nom de théorème.

Aujourd'hui, personne ne croit que ce résultat de Fermat était une démonstration. Dans les lettres, vous n'avez mentionné que le cas n = 3 et résolvez la méthode utilisée par le cas n = 4 pour un autre problème. Il est possible que de ces deux on considère que la généralisation était possible ou qu'on commet une autre erreur, mais il n'est pas possible de le déterminer.

Kummer

Il suffit de prendre en compte n = 4 et n la première impair, car toutes les autres peuvent se résumer en elles. XIX. Au début du siècle, seuls les cas n = 3 et 4 étaient connus. Legendre a obtenu une réponse n = 5 en 1825 et Dirichlet, après une autre démonstration dans ce cas, a étudié le cas n = 7. Non démontrable, résolu n = 14 en 1832 et sept ans plus tard Lamé est venu à répondre à n = 7. Pendant ce temps, l'Académie française a offert un prix en échange d'une démonstration complète.

La véritable percée est arrivée entre 1844 et 47 avec l'œuvre d'Ernst Kummer. Cela a étudié des nombres très cyclo-ergonomiques:

à 0 + à 1w +... + à n-1

de l'établissement...

à 0 , à 1 , ... , à n-1 entiers

et puis,

w = e 2/n (par conséquent n = 1)

sont.

Ces nombres, comme les entiers conventionnels, peuvent être factorisés dans les nombres premiers, mais contrairement aux nombres conventionnels, dans certains cas il peut y avoir plus d'une factorisation pour le même nombre. Au début, il n'a pas réalisé ce problème et a fait quelques erreurs, mais il a ensuite créé la théorie des nombres idéaux pour le résoudre, d'une part, et le corps de classe, de l'autre. Pour mesurer le “mauvais” qui peut être la factorisation, il a introduit le concept de nombre de classes.

À cet égard, il a défini les premiers numéros réguliers et a montré que pour eux le dernier théorème de Fermat est vrai. Il a montré un critère pour connaître ces nombres et les nombres premiers inférieurs à 100 seulement 37, 59 et 67 sont irréguliers. L'innovation de Kummer a représenté une avancée spectaculaire. Bien qu'en 1850 l'Académie française a offert pour la deuxième fois le prix, années plus tard, il a pris sa retraite et a décidé de remettre la médaille d'or du Grand Prix à Kummer, comme l'a proposé Cauchy. Kummer a ensuite développé des méthodes pour analyser les cas manquants en dessous des tissus mais XX. Au début du siècle Vandiver rempli les trous qu'il a laissés.

Bien qu'en 1850 l'Académie française a offert pour la deuxième fois le prix, années plus tard, il a pris sa retraite et a décidé de remettre la médaille d'or du Grand Prix à Kummer, comme l'a proposé Cauchy.

XIX. Au XVIIIe siècle, aucun progrès n'a été fait, mais des résultats partiels ont été obtenus. XX. Au début du XXe siècle, en 1905, Paul Wolfskehl, de la Société des sciences de Götingen, a offert cent mille cadres pour la première démonstration. Le bruit de l'argent, en plus des mathématiciens professionnels, a fait sortir les fans de la place et sont venus des centaines de résolutions. Mais tout en vain. La valeur du prix a été très réduite par les dévaluations du cadre, mais certains croient que sans argent ils ont essayé avec des moyens totalement élémentaires.

XX. siècle siècle siècle siècle siècle siècle siècle siècle siècle

XX. Comme la capacité de calcul des ordinateurs a augmenté au XXe siècle, il a été possible de vérifier les valeurs spéciales de n. Cela ne peut en aucun cas prouver l'ensemble du théorème, mais si l'on sait qu'il est vrai en dessous de n = 4.000.000 (d'où ils sont arrivés en 1993) peut difficilement laisser la trace de croire le contraire. Cependant, en mathématiques, il faut des tests.

Le développement de la géométrie algébrique était responsable du XX. Changement de stratégie au XXe siècle par rapport au dernier théorème de Fermat. Certains problèmes qui sont apparus dans les études de courbes et de surfaces peuvent être liés au théorème de Fermat. De certains des aéros proposés dans les trois domaines (géométrie diophantique, surfaces arithmétiques et courbes elliptiques) on déduisait immédiatement celle de Fermat.

En 1983 l'allemand Gerd Faltings a démontré une conjecture proposée par Mordell soixante ans plus tôt et, par conséquent, que les équations x n + et n = z n sont un nombre fini de solutions “vraiment” différentes pour chaque n, quand n' 3. Ce qui signifie vraiment différent. Si le trio (3, 4, 5) répond à l'équation x 2 + et 2 = z 2, il est évident (6, 8, 10), (9, 12, 15) et, en général, tout multiple répond.

Nous pouvons tous les considérer comme une même résolution. Mais les trios (5, 12, 13) et (7, 24, 25) sont aussi des résolutions et ne sont pas égaux. Et il est facile de noter que dans n = 2 les différentes solutions sont infinies. Selon le théorème de Faltings, cela ne se produit pas quand n Ž 3. L'objectif est de prouver qu'il n'y en a pas, mais c'était un pas en avant. En plus de Mordell, Faltings a résolu deux autres grandes conjectures qui lui ont valu en 1986 la médaille Fields.

D'autre part, il y a environ six ans, Miyaoka revendiqua une différenciation liée aux surfaces arithmétiques (Bogomolov-Miyaoka-Yau). S'il avait été vrai, au moins pour les plus âgés d'une valeur fixe de n nous aurions conclu que le dernier théorème de Ferma a été accompli, mais ils ont trouvé une erreur de démonstration et nous étions dans le même état.

L'œuvre de Wiles se situe dans le domaine des courbes elliptiques. En 1955, le mathématicien japonais Yukata Taniyama a proposé une conjecture qui a été déterminée dans la prochaine décennie par Goro Shimura. Dans la terminologie algébrique, il dit: “Toute courbe elliptique, modulaire, sur des nombres rationnels”. Pendant de nombreuses années, personne n'a pensé que cette conjecture pourrait avoir à voir avec le théorème de Fermat, jusqu'à ce que l'Allemand Gerhard Frey en 1985 a affirmé que l'aieru Taniyama-Shimura est plus difficile que le théorème de Fermat, à savoir que la démonstration de la première apporte la seconde. Il n'a pas été en mesure de concrétiser, mais dans les années à venir il est devenu clair que Fra' était bien avec le travail que Jean Pierre Serre a dirigé et a terminé avec Kenneth Ribet.

Andrew Wiles (1993). Le but du travail d'Andrew Wiles ces dernières années a été la conjecture de Taniyama Shimura. Bien qu'il n'ait pas montré le cas le plus général, il a réussi à le vérifier pour de nombreuses courbes et il y avait ceux qui ont laissé décidé le théorème de Fermat.

Le but du travail d'Andrew Wiles ces dernières années a été la conjecture de Taniyama-Shimura. En dépit de ne pas montrer le cas le plus général, il aurait réussi à le vérifier pour de nombreuses courbes et ce qu'ils ont laissé décidé le théorème de Fermat qui était en eux. Selon les experts, la démonstration avait beaucoup de crédibilité et c'est pourquoi la nouvelle s'est répandue dans le monde entier. Comme d'habitude, avant sa publication, le travail a été confié à des experts pour approbation. Quelques mois plus tard, nous avons commencé à entendre que quelque chose avait tort.

En essayant de clarifier les choses, Wiles lui-même publia en décembre 1993 une note dans laquelle il reconnaissait que dans son manuscrit ils trouvèrent des points qu'il fallait compléter dans la révision et qu'il avait résolu la plupart d'entre eux, mais que l'on s'était échappé, ce qui exigeait que nous ne puissions pas en finir avec son œuvre jusqu'à ce que le calcul domine. Par ailleurs, au printemps, il a donné des détails sur ce qu'il avait fait et sur ce qui manquait pour le cours qu'il allait enseigner.

Le printemps et l'été ont été, et comme il n'y avait plus de nouvelles, j'ai terminé la première ébauche de cet article avec cela et peut-être bientôt on pouvait arriver à l'exposition. Mais quand je faisais la dernière rédaction et les corrections, les nouvelles que nous attendions sont arrivées.

Elle a été ouverte le 25 octobre 1994, mais avec moins d'intensité que la précédente. Comme il est resté dans les universités la nécessité de réviser après cette euphorie initiale, il sera probablement aussi limité aux milieux professionnels. Ils disent que le problème à résoudre a été abordé par un autre chemin et ont réussi. Wiles a pris la prudence le jour dernier et a laissé le manuscrit entre les mains de quelques-uns.

Cette fois aussi, bien sûr, mais comme le manuscrit a été fait le 25 octobre, nous pouvons le considérer comme un signe sûr. Et avec lui vient son deuxième travail avec Richard Taylor, qui semble indiquer comment le calcul manquant peut être fait à l'initiale. L'expérience nous montre que jusqu'à ce que les dernières bénédictions arrivent, nous ne pouvons pas dire que nous avons une démonstration définitive. Mais, dans le même temps, nous devons dire que nous avons beaucoup de raisons de croire que le problème qui est devenu les célèbres failles de tête des mathématiciens depuis 350 ans est résolu. Et comme il a été dit dans les plaisanteries, Fermin avait raison quand il a écrit qu'il n'était pas sur le bord de la page.

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