Sobre el último teorema de Fermat

Duoandikoetxea Zuazo, Javier

EHUko matematika irakaslea

El 23 de junio de 1993, en el Instituto Newton de la Universidad de Cambridge, Andrew J finalizaba su sesión en tres conferencias. Wiles, matemático inglés, profesor de la Universidad de Princeton, escribió como resultado del teorema probado: si p es el número primero, mayor que 2, u, v, y w son racionales y up + vp + wp = 0, entonces uvw = 0.

Los matemáticos que estaban escuchando pronto se dieron cuenta de que Wiles paralizaba el complicado problema de las Matemáticas, conocido como el "teorema de Fermat". Pronto la noticia se extendió a todos los matemáticos del mundo. También a los que no eran matemáticos, como testigos de las citas de periódicos, radio y televisión. El manuscrito de Wiles, sin embargo, estaba en manos de unos pocos, ya que el autor no quería publicarlo hasta que no se comprobara todos los aspectos técnicos que contenía la demostración.

Y parece que una parte tenía lagunas (no errores) y hasta que las cubriera el último teorema de Ferma tendría que seguir siendo un problema abierto. Con esta duda cerré la primera versión del artículo, pero según una noticia que se ha ampliado hace unos días, han hecho el cálculo que faltaba y aunque tenemos que esperar a la aprobación de los expertos, parece que esta vez podremos poner el nombre de teorema en su verdadero sentido al resultado que nos propuso Fermat.

Fermat

El hombre que da nombre al problema, Pierre de Fermat, nació en 1601 en Beaumont de Lomagne, un pueblo gascón ubicado en el actual departamento de Tarn y Garona. Era hijo de familia acomodada (su padre era comerciante) y estudió las Leyes en las Universidades de Tolosa, Burdeos y Orleans. A partir de 1631 trabajó como abogado en el Parlamento de Tolosa.

Y es que, junto con Newton y Leibniz, el XVII. Fermat estuvo en la cima de las matemáticas del siglo XX, nunca se dedicó totalmente a la Matemática, sino fuera del trabajo. Pero la estructura de las Universidades de aquella época era muy diferente a la actual, y el avance de las Ciencias llegó a menudo de científicos no profesionales. Murió en Castres en 1655.

Durante su estancia en Burdeos, Fermat se sirvió, al parecer, de estudiar la obra del matemático François Viète y de la sencillez de su redacción simbólica. Decimos también que Viète era más conocida en su tiempo como política y fue consejero personal de Enrique IV (Enrique III de Navarra). Las aportaciones de Fermat pueden verse en todos los ámbitos de la matemática: Dio los inicios de la Geometría Analítica en la misma época de Descartes, propuso métodos de cálculo de máximos y mínimos y de realización de cuadraturas en el Análisis, aunque pronto los Cálculos Infinitesimales de Newton y Leibniz se oscurecieron y surgieron como campo independiente con la misma Teoría de los Números, como se dice.

En la óptica, la ley de la refracción de la luz también se llama principio de Fermat y en los comienzos de la Probabilidad aparece junto a Pascal. Sin embargo, aún no gozó de gran popularidad, ya que no publicó libros. Sus obras nos han llegado en cartas, pequeñas obras y manuscritos. La mera mención de todas las aportaciones nos llevaría mucho tiempo y aquí nos unimos a la evolución del último teorema de Fermat.

Tenemos que ir al griego en busca de las primeras huellas, que por primera vez se ocuparon de los números y las figuras geométricas. d. C. III. En el siglo XIX, el matemático afincado en Alejandría Diofanto escribió unos libros en los que se recogía el conocimiento de la aritmética griega. Estos libros fueron traducidos al árabe y su influencia en las Matemáticas árabes fue evidente. En la Edad Media, cuando llegaron al oeste de Europa sólo quedaban seis de los catorce primitivos. Cuatro de los siete libros perdidos recientemente han sido encontrados en el Messed de Irán, en 1971, en la traducción árabe.

El hombre que da nombre al problema, Pierre de Fermat, nació en 1601 en Beaumont de Lomagne, un pueblo gascón ubicado en el actual departamento de Tarn y Garona. Murió en Castres en 1655.

Estas seis antiguas figuras fueron publicadas por Bachet de Mériziac en 1621, añadiendo al griego la traducción y los comentarios en latín. Esta fue la principal fuente de resultados de la Teoría de los Números para Ferma. De hecho, en el mismo libro escribía Fermat sus notas y comentarios y después de morir su hijo se encargó de publicarlos con las notas del padre Arithmetica de Diofanto.

Las primeras huellas al problema que nos ocupa se encuentran en los triples pitagóricos, es decir, en el cálculo de números enteros que cumplen la ecuación x 2 + y 2 = z 2. Por ejemplo (3, 4, 5) o (5, 12, 13). Con un poco de trabajo también se puede conseguir una fórmula que da todas. Fermat propuso utilizar cualquier otro exponente en lugar de preguntas generalizadas y cuadradas. Y en uno de los extremos del libro mencionado Arithmetica escribió: “Es imposible dividir un cubo en dos cubos, y un descuadrado en dos pares o, en general, cualquier otra remodelación que no sea cuadrada, en dos verduras del mismo exponente. He encontrado una demostración maravillosa de ello, pero este borde de página es demasiado pequeño para entrar en él”. Es decir,

x n + y n = z n

Fermat defendió que la ecuación no tiene una solución muy positiva cuando n es mayor que dos. En otros resultados que nos dejó sin pruebas sólo quedó indemostrable unos años después, y por eso se le llama el último teorema de Fermat, aunque el resultado no demostrado no merece el nombre de teorema.

A día de hoy nadie cree que este resultado de Fermat fuera una demostración. En las cartas sólo mencionó el caso n = 3 y resuelve el método que utilizó el caso n = 4 para otro problema. Es posible que de estos dos se considere que la generalización era posible o que se cometa algún otro error, pero no es posible determinarlo.

Kummer

Basta con tener en cuenta n = 4 y n la primera impar, ya que todas las demás pueden resumirse en ellas. XIX. A principios de siglo sólo se conocían los casos n = 3 y 4. Legendre obtuvo una respuesta n = 5 en 1825 y Dirichlet, tras otra demostración en este caso, estudió el caso n = 7. Indemostrable, resolvió n = 14 en 1832 y siete años después Lamé llegó a responder a n = 7. Mientras tanto, la Academia francesa ofreció un premio a cambio de una demostración completa.

El verdadero avance llegó entre 1844 y 47 con la obra de Ernst Kummer. Esto estudió números muy cicllotómicos:

a 0 + a 1w +... + a n-1

de

a 0 , a 1 , ... , a n-1 enteros

y

w = e 2</n (por tanto n = 1)

son.

Estos números, al igual que los enteros convencionales, pueden factorizarse en los números primos, pero a diferencia de los convencionales, en algunos casos puede haber más de una factorización para el mismo número. Al principio no se dio cuenta de este problema y cometió algunos errores, pero luego creó la teoría de los números ideales para solucionarlo, por un lado, y el cuerpo de clases, por otro. Para medir lo “malo” que puede ser la factorización, introdujo el concepto de número de clases.

A este respecto definió los primeros números regulares y demostró que para ellos el último teorema de Fermat es cierto. Mostró un criterio para conocer estos números y de los números primos inferiores a 100 sólo 37, 59 y 67 son irregulares. La innovación de Kummer supuso un avance espectacular. A pesar de que en 1850 la Academia Francesa ofreció por segunda vez el premio, años después se retiró y decidieron entregar la medalla de oro del Gran Premio a Kummer, tal y como propuso Cauchy. Después Kummer desarrolló métodos para analizar casos que faltaban por debajo de los tejidos pero XX. A principios del siglo Vandiver llenó los agujeros que dejó.

A pesar de que en 1850 la Academia Francesa ofreció por segunda vez el premio, años después se retiró y decidieron entregar la medalla de oro del Gran Premio a Kummer, tal y como propuso Cauchy.

XIX. En el siglo XVIII no se avanzó totalmente pero se obtuvieron resultados parciales. XX. A principios del siglo XX, en 1905, Paul Wolfskehl, de la Sociedad de Ciencias de Götingen, ofreció cien mil marcos para la primera demostración. El sonido del dinero, además de los matemáticos profesionales, sacó a la plaza a los aficionados y llegaron cientos de resoluciones. Pero todo en vano. El valor del premio quedó muy reducido por las devaluaciones del marco, pero hay quienes creen que sin dinero han probado con medios totalmente elementales.

XX. siglo

XX. A medida que la capacidad de cálculo de los ordenadores ha aumentado en el siglo XX, ha sido posible realizar comprobaciones para los valores especiales de n. Esto no puede demostrar en ningún caso todo el teorema, pero si se sabe que es cierto por debajo de n = 4.000.000 (de ahí llegaron en 1993) difícilmente puede dejar rastro para creer lo contrario. Sin embargo, en Matemáticas se necesitan pruebas.

El desarrollo de la geometría algebraica fue el responsable del XX. Cambio de estrategia en el siglo XX respecto al último teorema de Fermat. Algunos problemas que han aparecido en los estudios de curvas y superficies pueden relacionarse con el teorema de Fermat. De algunos de los aieros propuestos en los tres campos (geometría diofántica, superficies aritméticas y curvas elípticas) se deducía de inmediato la de Fermat.

En 1983 el alemán Gerd Faltings demostró una conjetura propuesta por Mordell sesenta años antes y, en consecuencia, que las ecuaciones x n + y n = z n son un número finito de soluciones “realmente” diferentes para cada n, cuando n' 3. Qué es lo que realmente significa diferente. Si el trío (3, 4, 5) cumple con la ecuación x 2 + y 2 = z 2, es evidente (6, 8, 10), (9, 12, 15) y, en general, cualquier múltiplo cumple.

Todas ellas podemos considerarlas como una misma resolución. Pero los tríos (5, 12, 13) y (7, 24, 25) también son resoluciones y no son iguales. Y es fácil observar que en n = 2 las diferentes soluciones son infinitas. Según el teorema de Faltings esto no ocurre cuando n Ž 3. El objetivo es demostrar que no hay ninguno, pero fue un paso adelante. Además de Mordell, Faltings resolvió otras dos grandes conjeturas que le valieron en 1986 la medalla Fields.

Por otro lado, hace unos seis años Miyaoka reivindicó una diferenciación relacionada con las superficies aritméticas (Bogomolov-Miyaoka-Yau). Si hubiera sido cierto, al menos para los mayores de un valor fijo de n habríamos llegado a la conclusión de que se cumple el último teorema de Ferma, pero encontraron un error a la demostración y nos quedamos en el mismo estado.

La obra de Wiles se sitúa en el campo de las curvas elípticas. En 1955 el matemático japonés Yukata Taniyama propuso una conjetura que fue determinada en la próxima década por Goro Shimura. En la terminología algebraica dice: “Cualquier curva elíptica, modular, sobre números racionales”. Durante muchos años a nadie se le ocurrió que esta conjetura pudiera tener que ver con el teorema de Fermat, hasta que el alemán Gerhard Frey en 1985 afirmó que el aieru Taniyama-Shimura es más duro que el teorema de Fermat, es decir, que la demostración de la primera trae consigo la segunda. No fue capaz de concretar, pero en los próximos años quedó claro que Frey estaba bien con el trabajo que Jean Pierre Serre dirigió y terminó con Kenneth Ribet.

Andrew Wiles (1993). El objetivo del trabajo de Andrew Wiles en los últimos años ha sido la conjetura de Taniyama Shimura. Aunque no demostró el caso más general, logró comprobarlo para muchas curvas y en ellas se encontraban los que dejaron decidido el teorema de Fermat.

El objetivo del trabajo de Andrew Wiles en los últimos años ha sido la conjetura de Taniyama-Shimura. A pesar de no demostrar el caso más general, supuestamente logró comprobarlo para muchas curvas y lo que dejaban decidido el teorema de Fermat que había en ellas. Según los expertos, la demostración tenía mucha credibilidad y por eso la noticia se difundió por todo el mundo. Como es costumbre, antes de su publicación, el trabajo quedó en manos de unos expertos para su aprobación. Meses después, empezamos a oír que algo estaba equivocado.

Intentando aclarar las cosas, el propio Wiles publicó en diciembre de 1993 una nota en la que reconocía que en su manuscrito encontraron unos puntos que había que completar en la revisión y que había solucionado la mayoría de ellos, pero que uno se había escapado, lo que exigía que no podíamos dar por concluida su obra hasta que dominara el cálculo. Por cierto, en la primavera dio detalles de lo que había hecho y de lo que faltaba para el curso que iba a impartir.

La primavera y el verano fueron, y como no había más noticias, terminé el primer borrador de este artículo con eso y quizás en breve se podía llegar a la demostración. Pero cuando estaba haciendo la última redacción y las correcciones, llegó la noticia que esperábamos.

Se abrió el 25 de octubre de 1994, aunque con menor intensidad que el anterior. Tal y como quedó en las Universidades la necesidad de revisar después de aquella euforia inicial, probablemente también se limitará a los entornos profesionales. Dicen que el problema a resolver se ha abordado por otro camino y han tenido éxito. Wiles tomó la prudencia el pasado día y dejó el manuscrito en manos de unos pocos.

Esta vez también lo haría, claro, pero como el 25 de octubre ha hecho el manuscrito, podemos considerarlo como una señal con seguridad. Y con él viene su segundo trabajo con Richard Taylor, que parece indicar cómo se puede hacer el cálculo que faltaba en el inicial. La experiencia nos demuestra que hasta que lleguen las últimas bendiciones no podemos decir que tengamos una demostración definitiva. Pero, al mismo tiempo, hay que decir que tenemos muchas razones para creer que el problema que se convirtió en los famosos quebraderos de cabeza de los matemáticos durante 350 años está resuelto. Y como se ha dicho en las bromas, Fermín tenía razón cuando escribió que no cabía en el borde de la página.

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