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Les équations fonctionnelles sont dans notre environnement

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Nous voulons présenter un concept de base du travail de recherche que nous développons actuellement, l'équation fonctionnelle. Tout d'abord, nous dirons qu'il s'agit d'une équation fonctionnelle: c'est la relation d'égalité qui remplit une fonction dépendant d'une ou connue. Et résoudre une équation fonctionnelle est de déterminer toutes les fonctions qui rempliront la relation d'égalité.

Équations fonctionnelles: quelques exemples

Commençons par quelques exemples illustratifs:

1. Nous contemplerons quelques étapes fondamentales de la vie d’une personne:

(F) Naissance

Trouver un emploi (II)

(III) achat de logement

(IV) se marier

Il est clair que les trois dernières étapes ne peuvent être complétées sans la première (naissance). Les trois dernières peuvent se produire dans n'importe quel ordre.

D'autre part, on peut unir plusieurs étapes de base et créer une étape globale qui englobe toutes. En d'autres termes, les étapes de recherche d'emploi et d'achat de logement peuvent être réunis à un stade plus large appelé enracinement. Maintenant, à partir de cet exemple, nous allons essayer d'obtenir une expression mathématique; la réalisation de l'étape b après l'étape a, nous appelons F(a,b) ( a et b e X , où X est l'ensemble de toutes les étapes de base). Nous accepterons F: X x X B X X conforme à l'équation de permutabilité X (dans d'autres zones, équation de migrabilité):

F(a,b),c) = F(F(a,c),b), a,b,c et X pour toutes.

La vérité est que cette équation fonctionnelle est bien connue dans d'autres branches de la science (pas seulement en mathématiques):

Par exemple, en économie. Supposons que nous ayons une somme d'argent C, un capital, dans l'entité bancaire, et qu'après une période nous devons payer une taxe (remettre au trésor une proportion de l'argent restant de la caisse). Si, à partir d'un capital C, ils facturent r 1 C, étant r 1 e (0,1), le montant restant à la banque sera R(C,r 1 )=(1-r 1) C. Si nous devions payer deux impôts, nous nous rendons vite compte que le montant qui nous resterait à la banque ne variera pas selon l'ordre dans lequel nous payons les impôts comme suit:

R(R(C,r 1 ),r 2 ) = (R(R(C,r 2 ),r 1 ), C,r 1 ,r 2 et r1,r 2 e (0,1).

Informatique. Il apparaît dans les algorithmes informatiques qui doivent déterminer les travaux à effectuer par les ordinateurs.

2. Nous voulons faire des voyages en avion. Pour aller d'un aéroport appelé x à un autre qui est appelé, nous devons payer P(x,y). En outre, les frais de l'aéroport de départ, T(x), doivent également être payés, de sorte que le prix du voyage est P(x,y)+T(x). Supposons que selon le système de prix convenu la valeur des voyages aller-retour doit être la même, à savoir P(x,y)+T(x) = P(y,x)+T(y), où x et y sont des aéroports.

Dans ce cas, nous dirons P: X x X Calcul [0,+·) répond à l'équation du circuit :

P(x,y)+P(y,z)+P(z,x) = P(x,z)+P(z,y)+P(y,x), x,y,z e X

Si nous voulons mesurer la différence entre les prix des voyages aller-retour, sans tenir compte des taux des aéroports, nous devons analyser la fonction F(x,y) = P(x,y)-P(y,x), dans ce cas F: X X X\ R répond à l'équation fonctionnelle de Sincov:

F(x,y)+F(y,z) = F(x,z) pour tous x,y,z et X.

3. Un groupe de recherche basé dans le pays de calcul 1 peut atteindre des niveaux d'excellence x par le travail de chercheurs locaux. Les personnes de Chiffreland, qui sont également des chercheurs, atteindront un niveau d'excellence et si l'équipe travaille seul. Cependant, la collaboration entre les deux équipes permet d'atteindre des niveaux d'excellence E(x,y) et, probablement, d'atteindre des niveaux supérieurs aux x et et à chaque groupe. Nous devons aussi reconnaître que le niveau d'excellence E(x,y) atteint avec le travail conjoint sera le maximum réalisable. Si l'un d'eux atteignait ce niveau sans le soutien de l'autre, même s'il se joignait à l'autre, il n'améliorerait pas ce niveau d'excellence. Autrement dit, collaborer avec l'autre groupe ne signifierait pas élever le niveau d'excellence de la recherche. Nous pouvons exprimer cette situation comme suit:

E(E(x,y),y) = E(x,y) = E(x,E(x,y)),

R: R: La fonction X x X B X est appelée fonction d'incrément, où X représente tous les niveaux d'excellence. Cette équation est assez étudiée dans la littérature spéciale et est appelée équation du consensus parce qu'elle est liée aux problèmes habituels qui se présentent dans les études de Sélection Sociale.

Recherche mathématique par équations fonctionnelles

Quand un mathématicien entend l'expression équation fonctionnelle, il a immédiatement des concepts comme les équations différentielles, équations dérivées partielles ou équations intégrales. C'est facile à comprendre, car ce type d'équations ont leur propre théorie bien développée et consolidée, et nous pouvons également affirmer avec certitude que ce mathématicien a appris dans ses études universitaires au moins un des concepts mentionnés, sinon tous.

Mais l'expression équation fonctionnelle englobe un ensemble plus large de relations entre équations ou fonctions.

Dans la résolution des exemples présentés sur le portail, ces exemples ne seront pas analysés, au moins au début, avec les techniques employées par les théories de dérivées partielles, équations différentielles ou équations intégrales. De plus, une personne travaillant sur des équations fonctionnelles rencontre des équations peu ou pas liées à des équations différentielles, intégrales ou dérivées partielles, et celles qu'elle trouve sont très semblables à celles qui apparaissent dans nos exemples.

Ce qui se passe, c'est qu'il n'existe pas de théorie mathématique consolidée et étendue pour l'apprentissage de ces équations fonctionnelles (qui ont une signification plus générale et plus large), bien qu'il existe des études et des travaux classiques (malheureusement ou heureusement peu de travaux).

Il faut faire un exemple ou une mention intéressante: dans ce sujet des équations fonctionnelles, comme déjà commenté, il y a peu de bibliographie. De plus, les techniques utilisées pour l'étude des équations avec des fonctions multivariantes telles que F(x,y)+(F(y,z) = F(x,z) diffèrent radicalement de celles utilisées pour l'étude des équations fonctionnelles avec des fonctions monovariables telles que f(x+y)=f(x)+f(y).

Il est normal que lorsqu'un chercheur résout une telle équation, il communique la découverte dans un magazine spécialisé en utilisant des techniques de base, ou le présente comme un problème de résolution dans un magazine spécialisé en résolution de problèmes, c'est-à-dire dans l'Olympiade internationale de mathématiques. Lorsqu'un tel problème se présente dans une mathématique internationale olympique, les participants - d'excellents élèves entre autres - mettent en place toute leur capacité et leur imagination pour résoudre ces nouveaux problèmes pour eux, et développent souvent de nouvelles techniques. Parfois, la collection de procédures de résolution utilisées par les élèves dans les mathématiques olympiques constitue une ressource énorme pour ceux qui travaillent dans ce domaine. Comme nous l'avons déjà, il faut dire que l'un des livres les plus remarquables de ce sujet est celui que l'entraîneur de l'équipe canadienne de mathématiques olympiques a écrit. Il a ordonné et compilé les techniques utilisées par les meilleurs et a obtenu un excellent livre sur les équations fonctionnelles.

Mots finaux et un problème comme cadeau

Ces équations apparaissent dans notre domaine de recherche et nous publions des articles dans des revues spécialisées (analyse mathématique abstraite, calcul théorique, économie mathématique ou sélection sociale).

Nous y travaillons et nous pouvons dire que, bien qu'il s'agisse d'une ligne qui ne fonctionne pas trop parmi les mathématiciens, il n'est pas de peu d'intérêt. Par conséquent, nous avons osé écrire cette note, en essayant de mettre en évidence cette ligne de recherche. Enfin, s'il y a un lecteur qui n'est pas encore satisfait, nous présentons le deuxième problème de l'Olympiade de Mathématiques réalisée à Santander: "Déterminez toutes les fonctions réelles f:R R R à une seule variable qui correspondent à l'équation fonctionnelle f(y)(x-2)+f(y+2f(x)=f(x+y f(x)))), x,y e R."

Cette branche de recherche fait partie du projet de recherche MTM2012-37894-C02-02.

1 Nous avons dû utiliser ce nom imaginaire parce que grâce à la large vision des politiciens aujourd'hui il n'y a pas de groupes de recherche.

Références