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Importancia de la posición

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A la aritmética binaria que utilizan los ordenadores a partir de los que escribían los babilonios en láminas de barro, diversas civilizaciones han utilizado diversos sistemas numéricos en diferentes partes del mundo. El sistema de numeración que utilizamos hoy en día es un legado que nos ha llegado de esa vorágine de los siglos. ¿Por qué utilizamos este sistema y no otro?

Aunque en todo el mundo se utilizan varios idiomas y alfabetos, el modo de escribir números es el mismo en todas partes. Parece raro, pero si una búsqueda en Internet nos muestra una página en China, entre los ideogramas que no se pueden descifrar, siempre conoceremos algunos caracteres comprensibles, los números dígitos.

Es un fenómeno actual, pero no puede pensarse que era así en un tiempo. Y es que las civilizaciones antiguas, como cada una tenía su propio alfabeto, también tenían su propio sistema numérico. Se puede decir más: primeras representaciones de la escritura de números que surgieron antes de que las civilizaciones inventaran sus alfabetos.

La idea más natural, contar

Es contar la idea más básica y natural relacionada con los números. Seguramente hace 20.000 años, cuando un hombre de entonces trazó líneas sobre un hueso animal, las hizo porque algo contaba. Este hueso, conocido como hueso de Ishan, fue encontrado en Zaire y, según un experto que lo ha investigado, las rayas realizadas de forma ordenada sobre el hueso tienen que ver con los ciclos de la luna.

El hueso de Ishan es el soporte escrito más antiguo conocido y no sería casualidad que los números allí escritos tuvieran mediciones astronómicas. Y es que el desarrollo de las matemáticas está estrechamente relacionado con el desarrollo de la astronomía, no sólo de la astronomía, sino también de la administración, el poder y la economía.

Porque los babilonios eran hábiles en las mediciones astronómicas --a. C. Hacia 1600 - algunos indicios del sistema numérico han llegado hasta la actualidad. Esta civilización, surgida a orillas de los ríos Tigris y Eufrates, desarrolló un sistema de contabilización en 60 bases, que hoy en día utilizamos para medir ángulos, minutos y segundos. El uso del sistema de numeración basado en 60 es lógico ya que siendo un número con un gran número de divisores, las posibilidades de que las divisiones tengan un resultado total son elevadas. Los cocientes precisos eran importantes para una civilización que no utilizaba decimales. Además, en el cielo hay 12 constelaciones con gran importancia en las mediciones astronómicas, el 12 y sus múltiplos --60 por ejemplo-.

Al hombre de Ishan seguramente le tocaría mucho tener que escribir tantas rayas. Por ello, los babilonios idearon un sistema de congestión para escribir números grandes de forma breve. Los primeros se escribían con guiones, pero si se apilaban diez, los sustituían por otro símbolo que representaba la decena. De la misma manera, los sustituían por uno de los sesenta de seis décimas.

Con esta escritura, fueron capaces de completar los calendarios solares y lunares, resolvieron las ecuaciones y descubrieron el teorema de Pitágoras, siglos antes del nacimiento del mismo Pitágoras.

Aquellos saberes matemáticos estaban en manos de sacerdotes y sabios del reino y no de cualquiera. De hecho, eran en gran medida secretos estatales. Una vez dominadas las matemáticas, se dominaba la arquitectura y la geometría para construir palacios, templos, altares de los dioses y murallas. Estos conocimientos eran demasiado importantes para quedarse en manos del enemigo. Por ello, el maestro transmitía verbalmente al alumno los conocimientos matemáticos, por lo que hay pocos testimonios escritos para analizar las matemáticas de entonces.

Los únicos textos matemáticos que se han conservado desde la época babilónica se escribían en láminas de barro. Escribían el procedimiento para resolver un problema matemático, con la arcilla aún fresca y, una vez seca, el texto estaba listo. Este tipo de soportes han hecho frente a los siglos, al igual que los jeroglíficos egipcios a la tierra y al frío calor del desierto.

En los templos egipcios --a.C. Hacia 1800, cuando escribían cronologías de faraones o cualquier otro relato, utilizaban el sistema de congestión, como los Babilonios, pero con un cambio. No utilizaban la base 60 sino la base 10. En definitiva, los dedos de la mano son 10 y ahí puede estar el origen de la base. Diez unidades formaban diez, y diez décimas -y no seis, como en Babilonia- el porcentaje. El sistema avanzaba hacia arriba, con símbolos especiales para mil y diez mil, incluso para cien mil y un millón.

Además de este sistema de acumulación, en Egipto tenían otro sistema. Este sistema se llamaba hierático y era utilizado por los escribanos para escribir en el papiro. El hierático tenía símbolos especiales para los dígitos uno al nueve, pero también para los múltiplos diez (10, 20, ..., 90), múltiplos de tejidos (100, 200, ..., 900) y otros. Para escribir el número 138, por tanto, colocaban sucesivamente tres símbolos: 100, 30 y 8. Según esto, los escribanos sólo tenían que escribir el número 40 con el único símbolo y, por tanto, no tenían en Egipto, ni siquiera en Babilonia, un símbolo de cero.

Y es que el cero es algo muy nuevo en la historia de los números, relacionado con otro sistema. En Egipto y Babilonia se empleaban sistemas de congestión que obligaban a repetir un símbolo varias veces o, como en el caso del hierático, se necesitaba una enorme gama de símbolos para que el sistema fuera útil. Ante estos sistemas se crearon sistemas basados en la posición y no en la repetición.

La posición es importante

China --A. C. Alrededor de 200 - en las casas reales se hacía un estricto cumplimiento de la ley, para lo que los escribanos y oficiales que trabajaban en la administración tenían que estudiar. Dentro de esos estudios había matemáticas, como no podía ser de otra manera, con la caligrafía.

En China, al igual que en Egipto, no utilizaban el único sistema de numeración. El primero de ellos, el utilizado en los textos, tenía símbolos muy trabajados, como los del alfabeto del chino. Para escribir los números utilizaban la misma mecánica con la que escribían los ideogramas. Los dígitos del uno al nueve se representaban con un ideograma. También contaban con ideogramas propios para expresar décimas de verdura. Posteriormente, estos ideogramas se combinaban para escribir el número deseado. Por ejemplo, para escribir el número 74 se combinaban los ideogramas 10 y 7, junto a los cuales se escribían 4 ideogramas.

El segundo sistema de numeración utilizado en China era mucho más simple. Por un lado, había menos ideogramas, por un lado menos el novenario, y por otro, su orden era importante. Este sistema se utilizaba para hacer cuentas en la pizarra, por lo que es evidente la importancia del orden. A la hora de realizar las sumas, las operaciones se realizaban por columnas y, de alguna manera, para facilitar la escritura, los ideogramas correspondientes a los décimas múltiplos ya no eran necesarios.

Se puede decir, por tanto, que la evolución de los sistemas de numeración estuvo marcada por razones prácticas. Sin embargo, en China no se utilizaba el número cero de especial importancia en el sistema actual. En los cálculos de pizarra, si tenían que escribir el número 104, ponían 1 ideograma en la columna de porcentajes y 4 ideogramas en la columna de unos. La columna de los diezmos, por tanto, quedaba vacía.

Cero, número rico

La invención del cero fue fundamental, ya que permitía utilizar un sistema de posiciones como los chinos más allá de las pizarras. Pero aquel invento no lo hicieron en China, sino cerca en la India --a. C. 500 -. ¿Qué se puede decir del sistema de numeración indio? Pues no merece la pena meterse en las explicaciones, ya que este sistema de numeración es el precursor del actual. Los indios tenían dígitos de uno a nueve y, por primera vez en la historia, otro símbolo que representaba el cero, como un O. De este modo, sólo utilizaban un sistema basado en la posición, ya que el cero llenaba el hueco en el que no aparecía un determinado múltiplo o o reverdecimiento de diez.

Dado que el sistema de numeración de los indios presentaba ventajas notables frente al resto de los sistemas de entonces, tanto por su sencillez como por su eficacia, el resto de las civilizaciones fueron asumiendo poco a poco. Los árabes fueron los primeros en darse cuenta de ello y realizaron una gran labor de transmisión. Al tratarse de una civilización en fuerte expansión, el sistema de numeración indio se trajo hasta Europa, y fue modificado. El latín recibió los números árabes en la península ibérica y en el sur de Italia, y a partir del Renacimiento se descartaron el resto de expresiones numéricas que finalmente quedaron obsoletas.

Hoy en día el sistema de numeración indio árabe se utiliza en todo el mundo, en un principio por la expansión del latín, después por la mundialización de la cultura occidental. Y así ha sido, como se ha dicho, porque el sistema es sencillo y eficaz. Pero no se trompa, porque no es el único sistema que usamos. La aritmética binaria que utilizan los ordenadores no es un sistema de diez bases que se enseña en las escuelas, y se utiliza mucho más, si tenemos en cuenta que, al menos, los ordenadores trabajan a una velocidad enorme.