Ondes de dispersion linéaires et non linéaires
Les observations faites par l'ingénieur écossais John Scott Russell sur un canal près d'Édimbourg (1835) sont considérées comme la première description écrite de l'onde solitaire. Dans ce cas, il s'agissait d'une onde provenant de canaux peu profonds qui maintenait apparemment la forme et la vitesse inchangées, mais qui se propageait à grande vitesse pendant une période très longue. Russell a été en mesure de répéter l'événement au laboratoire et a observé que la vitesse, la hauteur et la largeur de l'onde étaient liées: plus grande vitesse à plus grande hauteur mais plus petite largeur.
Ils ont dû passer 60 ans pour trouver le bon modèle mathématique. Après les contributions de base de Stokes (1847), Boususte (1872) et Rayleig (1876), Korteweg et de Vries (1895) proposèrent l'équation qui porte son nom:
(1) ht + (c0 + c1h) hx + nhxxx = 0.
La fonction h(x,t) mesure la déviation de la hauteur du fluide au point x et au temps t de l'état d'équilibre. Les constantes physiques du problème sont c0, c1 et n. Il est facile de voir que les fonctions (2) sont les solutions de l'équation (1), indépendamment d'à 0, en vérifiant les observations de Russell. L'existence de cette vague solitaire est l'influence d'un certain équilibre entre la dispersion qui produit le terme menant à la troisième dérivée et le choc ou la concentration produite par l'interaction non linéaire.
Dans la seconde moitié de ce siècle, Kruskal et Zabusky (1965) ont obtenu l'équation KdV (qui est ainsi appelé (équation (1))) comme limite continue d'un réseau unidimensionnel formé par N ressorts avec faible interaction non linéaire, selon le modèle proposé par Fermi, Pasta et Ulam (1955). KdV est exactement le résultat d'une interaction quadratique. Lorsque le thème hhx est cube, il est remplacé par h2hx. La nouvelle équation est appelée KdV modifié (mKdV). En prenant les données initiales simples (h(x,0) = a cos (2{)), des essais numériques ont été effectués et, après un intervalle de temps, ils ont vu apparaître un train d'ondes formé par plusieurs "ondes solitaires", avec des amplitudes et donc des vitesses différentes. Étant les conditions de l'environnement périodiques, ces vagues sont confrontées entre elles et, si, étonnamment, ils suivent le chemin derrière les chocs, car il est à peine arrivé. C'est-à-dire comme une interaction linéaire.
Ils ont inventé le mot "solitoi" pour ce nouveau type de résolution. En outre, Fermi, Pasta et Ulam ont également vu ce qu'ils ont souligné comme un phénomène presque journalistique. La transformation que Miura a trouvée dans son évolution a été décisive, en reliant les solutions de KdV et mKdV (plus précisément, on peut voir que les quantités que l'évolution maintient non modifiées sont infinies). D'autre part, les deux KdV et mKdV sont actuellement considérés comme des équations «canoniques», apparaissant comme une approche à certains modèles physiques et non seulement dans la dynamique des ondes dans des canaux peu profonds. On peut voir le livre [1] de la bibliographie pour ces sujets et comme référence des résultats précédents.
Cependant, nous ne devons pas oublier que les équations ne sont que des modèles mathématiques et sont une simplification brute du problème physique original. Il n'est pas clair, donc, si par cette procédure nous n'avons pas perdu l'information essentielle. Il n'est pas non plus garanti à l'avance que ce modèle mathématique ait une solution pour un ensemble raisonnable de données initiales. Non plus, en cas de résolution, elle est unique et assure un comportement correct face à de petites erreurs de mesure des données initiales. Nous avons travaillé dans ce domaine. R. Kenig (University of Chicago) et G. Avec les professeurs Ponce (University of California, Santa Barbara) et plusieurs travaux commencés en 1989, nous avons développé des techniques pour traiter ces sujets.
KdV et mKdV doivent être considérés comme des perturbations "petites" du problème linéaire auquel elles sont liées. Cependant, on ne sait pas comment mesurer cette petite lumière. C'est-à-dire que les instruments de mesure et de décision du petit et du grand doivent se trouver dans l'équation des dérivées partielles correspondantes. Ou, ce qui est la même chose, chercher le paramètre pertinent du problème.
Selon nos recherches, la clé peut être: Perturbation du profil initial de l'onde solitaire qui fournit la formule (2) avec un facteur très oscillant (cosNx, N 1) et une amplitude A(N) suffisamment petite. Puis la donnée initiale
(3) h = A(N) cos (Nx) sech2 (x-t/3),
sera pour l'équation de KdV et quelque chose de semblable (en plaçant sech à la place de sech2) pour mKdV, en prenant les valeurs particulières appropriées de constantes pour faciliter leur représentation. Nous l'avons vu dans [3] et pour mKdV
(4) A(N) N1/4
Le cas échéant, que les résolutions soient uniformément alignées. Pour l'équation de KdV le résultat était pire. Mais c'est le J de l'Institute for Advanced Study à Princeton. Il a été dirigé par le professeur Bourgain, démontrant que A(N) 1 pour KdV était suffisant. Il a inventé de nouvelles techniques pour cela, qui ont été très utiles dans d'autres équations de dérivés partiels. En particulier, Fermi, Pasta et Ulam a démontré avec précision la périodicité observée par des méthodes numériques.
Étonnamment, le résultat de Bourgain peut être amélioré. Dans [4] nous avons montré que l'amplitude peut aussi croître. Concrètement, il suffit de
(5) A(N) N-p , p 3/4
Ce résultat est plus conforme à la condition (4) connue pour mKdV, car la différence entre les deux est d'une unité, comme le suggère la transformation de Miura.
Nous avons récemment montré (4) qu'il est optimal (il est très possible qu'il en soit ainsi (5). En particulier, en utilisant le paramètre a de la formule (2), de nouvelles solutions ont été obtenues avec des propriétés d'intérêt. D'une part, sauf une masse résiduelle avec un comportement dispersé, ce sont des ondes qui se déplacent dans la direction opposée à l'onde solitaire qui apparaît dans (1). D'autre part, en agissant avec les paramètres N et a, remplacer l'exposant 1/4 dans la condition (4) par un autre plus petit, on perd l'uniformité de dépendance continue et donc on démontre l'instabilité.
Ces nouvelles solutions sont la généralisation d'autres connues pour l'équation semi-linéaire de Schrödinger. Équation
(6) iut = uxx + l u I2 u
c'est, aussi canonique et a une relation étroite avec mKdV, même si à notre avis il n'est pas encore bien compris. Par exemple, les ondes solitaires dont le profil de séchage hyperbolique est la solution des deux équations. En outre, l'équation (6) contient des solitons et la loi de conservation a un nombre infini. Et il a une propriété à part, l'immutabilité avec les transformations de Galilée. Par la présente, la résolution correspondant à la donnée eiNx u0 peut être rédigée en fonction de la donnée u0. Par conséquent, pour (6) on déduit la même instabilité que nous avons démontré pour mKdV.
La signification de cette instabilité du point de vue physique est une question inhérente, car (6) apparaît comme une approche de modèles physiques de divers domaines, tels que l'optique non linéaire et la mécanique des fluides. Plus précisément, et à travers la transformation de Hasimoto, elle est liée à l'évolution d'un "vortex filament" et, dans le ferromagnétisme, est la limite continue de la chaîne de Heisenberg. Cette vague solitaire a son dernier lien avec le problème classique de la "courbe élastique" de Bernoulli: En tapant polaire le nombre complexe qui donne la résolution ou l'équation (6), le module donne courbure et l'argument est la fonction originale de la torsion.
Enfin, l'instabilité de ces nouvelles résolutions peut servir à résoudre un autre problème. Revenons à l'équation de KdV et prenons la constante physique n qui mesure la dispersion. Comme indiqué précédemment, lorsque la valeur de ce paramètre est zéro, le modèle peut générer des ondes de choc (il suffit de prendre des données initiales non décroissantes). La façon de continuer la résolution après les collisions n'est pas la seule. C'est pourquoi il faut retourner au modèle physique et utiliser l'entropie pour sélectionner une résolution physiquement significative. Une autre façon de répondre au problème de la non-solitude est par la résolution de l'équation (2) pour les valeurs de n, en prenant la limite. La relation entre la solution "entropique" et la "dispersion nulle" n'est pas bien clarifiée. Nous voulons aussi avertir que, en agissant avec les paramètres N et les nouvelles résolutions mentionnées ci-dessus, nous pouvons modifier la dispersion n.
- Titre du projet: Ondes de dispersion linéaires et non linéaires.
- L'objectif du projet est le problème de Cauchy des équations de dispersion, la régularité des données et des résolutions initiales, l'instabilité des solutions.
- Directeur: Luis Vega González
- Équipe de travail: Susana Gutierrez de Gracia et M. Cruz Vilela Bendaña (UPV/EHU); Clochers: Carlos E. Kenig (University of Chicago) et Gustavo Ponce (University of California, Santa Barbara)
- Département: Mathématiques mathématiques
- Faculté: Faculté des sciences
RÉFÉRENCES
- A.C. Newell, Solitons in Mathematics and Physics (SIAM, eds. ), 1985.
- J. Bourgain, Fourier restriction phenomena for certain latticesubsets and applications to nonlinear evolution equations,Geometric and Functional Anal. 3 (1993), 107-156, 209-262.
- C.E. Kening, G. Ponce and L. Vega, Well-posedness and scattering results for the generalized Korteweg-de Vries equation via theccontraction principle, Comm. Pure Apple. Math. 46 (1993), 527-620.
- C.E. Kening, G. Ponce and L. Vega, A bilinear estimate withapplications to the KdV equation, Journal Amer. Math. Soc. 9(1996), 573-603.
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