La terreur du chanteur et de l’infini
Les mathématiques n'ont pas provoqué beaucoup de fois la peur. Il a chassé beaucoup de gens et a la réputation d'être incompréhensible et ennuyeux, mais il ne lui fait guère peur. Cependant, c'est arrivé. Le prestigieux mathématicien Georg Cantor a dû surmonter la peur de maintenir la recherche et fait aujourd'hui partie de l'histoire des mathématiques. Objet d'étude, infini.
L'infini mathématique n'a pas un aspect très terrifiant, il est un symbole en forme de huit couchés qui apparaît rarement dans les calculs. Mais, au-delà du symbole, le concept lui-même est sombre et terrible.
En pratique, l'infini n'est rien de terrifiant lorsqu'il émerge à travers un système cyclique. Un exemple : Un voyage sur Terre peut être infini parce que la même planète ne se termine nulle part ; et un autre : les deux extrémités d'une bande magnétique reliées entre elles forment une bande qui ne finit pas et qui peut être utilisée pour l'enregistrement continu de la vidéo (en éliminant la précédente rotation dans chaque tournée).
Mais un infini non cyclique échappe à l'intuition. En définitive, tout a une fin dans le monde de l'homme mortel. Et le concept de l'infini ne finit pas. Combien de nombres y a-t-il ? Clair, infini. Mais que signifie cela ? Ce n'est pas un concept intuitif. Nous savons qu'il ya des nombres infinis, mais nous ne pouvons pas imaginer le concept dans la réalité. Il faut aller au-delà de l'intuition pour commencer à comprendre. Georg Cantor a entrepris ce voyage au-delà de l'intuition et est mort dans un hôpital psychiatrique, plein de critiques et de doutes philosophiques de nombreux mathématiciens de l'époque. Mais ce fut un grand scientifique qui ouvrit le chemin de l'infini.
Cantor a mathématiquement défini l'infini. Il ne suffit pas de savoir qu'il ya des nombres infinis, Cantor a montré que c'est vrai, que l'ensemble des nombres a des éléments infinis.
Pour ce faire, il a analysé les groupes finis. Il est facilement compris avec deux ensembles de trois éléments. Un ensemble de nombres 1, 2 et 3, et un ensemble de nombres 4, 5 et 6, par exemple. Par une simple opération, vous pouvez joindre un numéro du premier groupe et un autre du second. Cette opération permet de regrouper tous les éléments par paires (1 et 4, 2 et 5, 3 et 6). Il n'y a pas d'éléments manquants ou surplus et il y a des liens individuels. Cantor dit que cela montre que les deux groupes ont le même nombre d'éléments. Faire la même chose avec de très grands groupes, vous pouvez savoir si les deux ont le même nombre d'éléments ou non, sans savoir ce qu'il est.
Donc dans la définition de l'infini la même chose. Il prit l'ensemble des nombres naturels (1, 2, 3...) et constata qu'il pouvait être associé individuellement à l'ensemble des nombres pairs (2, 4, 6...). Peu importe le nombre d'éléments, on peut faire une union par paires, sans trop ni manquer d'éléments. Nous savons que le deuxième groupe est le sous-ensemble du premier et, cependant, il est possible. Cantor a indiqué que cela ne se produit qu'avec les ensembles d'éléments infinis, et ainsi l'infini a été défini.
Nouveaux infinis
La vraie révolution est venue parce qu'un pas est allé plus loin : elle a proposé que tous les infinis ne soient pas égaux. Il y a des infinis plus grands que d'autres. Par exemple, l'ensemble des nombres normaux a moins de nombres que les nombres réels. Les nombres naturels sont 1, 2, 3, etc., tandis que dans l'ensemble des nombres réels sont inclus les nombres décimaux. Par conséquent, l'infini des nombres réels est plus grand que celui des nombres normaux.
Combien de nombres naturels y a-t-il ? Car Cantor a donné un nom à cette quantité infinie : Aleph-0 Il s'agit d'un nombre, mais en venant d'un ensemble infini, c'est un nombre transfini. Évidemment, Aleph-0 est plus grand que n'importe quel nombre naturel, mais inférieur à d'autres numéros transfinis.
Par exemple, le nombre de nombres réels Aleph-1 est supérieur. Et non seulement il est plus grand, mais il est un infini d'un autre type, puisque les nombres réels ne peuvent pas être comptés, ils ne sont pas numérotés (les naturels oui).
Cantor avait peur. Il a créé une arithmétique complète des nombres transfinis; la prochaine étape logique était d'enquêter sur l'infini, mais il pensait qu'il est venu trop loin. Il était aux portes du champ religieux, ou à l'intérieur, parce que les concepts de l'infini et de Dieu ont beaucoup à voir. Il a reçu de nombreuses critiques et a été déprimé.
La triste vie de Cantor a apporté un trésor aux mathématiques. Actuellement, l'arithmétique des nombres transfinis est fondamentale dans le traitement de l'infini. C'est ce que Cantor fait grand: il a regardé devant la peur mathématique au profit des moins audacieux.
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