Ekuazio funtzionalak gure inguruan daude
Analisi Matematikoa saileko katedraduna eta Matematika mintegiko burua
Nafarroako Unibertsitate Publikoa
Askatasuna BHI institutuko Matematika irakaslea eta NUPeko Analisi Matematikoa sailean irakasle laguna
Ekuazio funtzionalak: adibide batzuk
Adibide adierazgarri batzuekin hasiko gara:
1. Pertsona baten bizitzaren oinarrizko etapa batzuk hartuko ditugu aintzat:
(I) jaio
(II) lana aurkitu
(III) etxebizitza erosi
(IV) ezkondu
Argi dago azken hiru etapak ezin direla bete lehenengoa (jaio) egin gabe. Azken hirurak, baina, edonolako ordenan gerta daitezke.
Bestetik, oinarrizko etapa batzuk elkar daitezke, eta guztiak bilduko dituen etapa global bat sortu. Alegia, lana aurkitu eta etxebizitza erosi etapak elkar daitezke errotu izeneko etapa zabalago batean. Orain, adibide horretatik abiatuz, saiatuko gara adierazpen matematiko bat eskuratzen; a izeneko etaparen ondoren b etapa egiteari F(a,b) deritzogu ( a eta b e X , non X oinarrizko etapa guztien multzoa baita). Onartuko dugu F: X x X Æ X permutagarritasunaren ekuazioa beteko duela (beste eremu batzuetan, migragarritasunaren ekuazioa):
F(F(a,b),c) = F(F(a,c),b), a,b,c e X guztietarako.
Kontua da ekuazio funtzional hori nahiko ezaguna dela zientziaren beste adar batzuetan (ez soilik matematikan):
Adibidez, ekonomian. Jo dezagun C diru-kopuru bat, kapital bat, dugula banketxean, eta, aldi bat igaro ondoren, zerga bat (kutxan soberan dagoen diruaren proportzio bat ogasunari ematea) ordaindu behar dugula. C kapital batetik abiatuz r 1 C kobratzen badute, r 1 e (0,1) izanik, bankuan geldituko den diru-kopurua R(C,r 1 )=(1-r 1 )C izango da. Bi zerga ordaindu behar izanez gero, berehala konturatuko gara nola bankuan geldituko zaigun diru-kopurua ez dela aldatuko zergak ordaintzeko erabiliko dugun ordenaren arabera, honela:
R(R(C,r 1 ),r 2 ) = (R(R(C,r 2 ),r 1 ), C,r 1 ,r 2 > 0 eta r1,r 2 e (0,1).
Informatikan. Ordenagailuek egin behar dituzten lanak zehaztu behar dituzten konputazio-algoritmoetan agertzen da.
2. Hegazkin bidezko bidaiak egin nahi ditugu. x izeneko aireportutik izeneko beste aireportu batera joateko, P(x,y) ordaindu behar dugu. Gainera, irteerako aireportuko tasak, T(x) , ere ordaindu behar dira; hala, bidaiaren prezioa P(x,y)+T(x) izango da. Demagun adostu den prezio-sistemaren arabera joaneko eta etorrerako bidaien balioa berdina izan behar duela, hau da, P(x,y)+T(x) = P(y,x)+T(y), non x eta y aireportuak baitira.
Egoera horrelakoa denean, esango dugu P: X x X Æ [0,+·) funtzioak zirkuituaren ekuazioa betetzen duela:
P(x,y)+P(y,z)+P(z,x) = P(x,z)+P(z,y)+P(y,x), x,y,z e X
Joaneko eta etorrerako bidaien prezioen arteko aldea neurtu nahi badugu, aireportuetako tasak kontuan izan gabe, F(x,y) = P(x,y)-P(y,x) funtzioa aztertu behar dugu; kasu horretan, F: X x X Æ R funtzioak Sincov-en ekuazio funtzionala beteko du:
F(x,y)+F(y,z) = F(x,z), x,y,z e X guztietarako.
3. Zenbatuherrian \ 1 finkatutako ikerketa-talde batek, bertako ikerlarien lanaren bidez, x mailako bikaintasun-maila lor dezake. Chiffrelandeko lagunek --horiek ere ikerlariak dira-- y mailako bikaintasun-maila lortuko dute taldeak bere kabuz lan eginez gero. Bi taldeak elkarlanean arituz gero, ordea, E(x,y) bikaintasun-maila lor dezakete, eta, gainera, segur aski, talde bakoitzaren x eta y mailak baino maila handiagoa lortu. Onartu behar dugu, halaber, elkarrekin lan eginez gero lortutako E(x,y) bikaintasun-maila izango dela lor dezaketen mailarik handiena. Bietariko batek maila hori lortuko balu bestearen laguntzarik gabe, bestearekin elkartu arren ez luke hobetuko bikaintasun-maila hori. Hau da, beste taldearekin elkarlanean aritzeak ez luke eragingo ikerketaren bikaintasun-maila igotzea. Honela adieraz dezakegu egoera hori:
E(E(x,y),y) = E(x,y) = E(x,E(x,y)),
E: X x X Æ X funtzioari gehikuntzaren funtzio deritzogu, non X multzoak bikaintasun-maila guztiak adierazten baititu. Ekuazio hori nahiko jorratua dago literatura berezian, eta adostasunaren ekuazio esaten zaio, Gizarte Aukeraketako ikerketetan agertzen diren ohiko problemekin erlazioa duelako.
Matematikako ikerketa ekuazio funtzionalen arabera
Matematikari batek ekuazio funtzional adierazpena entzuten duenean, berehala ekuazio diferentzialak, deribatu partzialeko ekuazioak edo ekuazio integralak moduko kontzeptuak bururatzen zaizkio. Erraz ulertzen da hori; izan ere, ekuazio-mota horiek ongi garatutako eta finkatutako teoria propioa dute, eta, gainera, ziurtasunez esan dezakegu matematikari horrek unibertsitate-ikasketetan ikasi duela aipatutako kontzepturen bat gutxienez, guztiak ez badira.
Baina ekuazio funtzional esamoldeak ekuazio edo funtzioen arteko erlazioen multzo zabalagoa hartzen du.
Atarian aurkeztutako adibideak ebaztean, adibide horiek ez dira aztertuko, hasieran behintzat, deribatu partzialen, edo ekuazio diferentzialen edo ekuazio integralen teoriek erabiltzen dituzten teknikak erabiliz. Are gehiago, ekuazio funtzionaletan lan egiten duen batek ekuazio diferentzial, integral edo deribatu partzialeko ekuazioekin zerikusi gutxi edo ezer ere ez duten ekuazioekin egingo du topo, eta aurkitzen dituenak gure adibideetan agertzen diren ekuazioen oso antzekoak izango dira.
Gertatzen dena da ez dagoela ekuazio funtzional hauek (esanahi orokor eta zabalagokoak dira) ikasteko teoria matematiko finkatu eta zabaldu bat, ikerketa eta lan klasikoak badauden arren (zoritxarrez edo zorionez lan gutxi dira).
Adibide edo aipu interesgarri bat egin behar da: ekuazio funtzionalen gai honetan, lehen esan dugunez, bibliografia gutxi dago. Are gehiago, aldagai anitzeko funtzioak dituzten ekuazioak aztertzeko erabiltzen diren teknikak ( F(x,y)+(F(y,z) = F(x,z), adibidez) guztiz desberdinak dira aldagai bakarreko funtzioak dituzten ekuazio funtzionalak (f(x+y)=f(x)+f(y), adibidez) aztertzeko erabiltzen direnetatik.
Normalean gertatzen dena da ikerlari batek horrelako ekuazio bat ebazten duenean oinarrizko teknikak erabiliz aldizkari espezializatu batean ematen duela aurkikuntzaren berri; edo, bestela, problemen ebazpenetan espezializatutako aldizkariren batean ebazteko problema gisa aurkeztuko duela, alegia, Nazioarteko Matematika Olinpiadari dagozkienetan. Honelako problema bat nazioarteko matematika-olinpiada batean aurkezten denean, parte-hartzaileek --ikasle bikainak bikainen artean-- beren trebezia eta imajinazio guztia martxan jartzen dute haientzat berriak diren problema hauek ebazteko, eta, askotan, teknika berriak garatzen dituzte. Batzuetan, matematika-olinpiadetan ikasleek erabilitako ebazpen-prozeduren bildumak baliabide izugarriak izaten dira gai honetan dihardutenentzat. Horrelakoak baditugunez, esan behar da gai honetaz idatzita dagoen libururik aipagarrienetariko bat Kanadako Matematika Olinpiadako selekzioaren entrenatzaileak idatzi duena dela. Onenek erabili dituzten teknikak ordenatu eta bildu ditu, eta ekuazio funtzionalei buruzko liburu bikaina lortu du.
Bukaerako hitzak eta problema bat opari gisa
Horrelako ekuazioak agertzen dira gure ikerketa-esparruan, eta artikuluak argitaratzen ditugu aldizkari espezializatuetan (analisi matematiko abstraktua, konputazio teorikoa, ekonomia matematikoa edo gizarte-aukeraketa).
Horretan dihardugu, eta esan dezakegu ezen, matematikarien artean gehiegi lantzen ez den ildo bat izan arren, interes gutxikoa ere ez dela. Hori dela eta, ohar hau idaztera ausartu gara, ikerketa-lerro hau agerian jarri nahian. Azkenik, oraindik ase gabe dagoen irakurleren bat badago, Santanderren egindako Matematika Olinpiadako bigarren problema aurkeztuko dugu: "Zehaztu itzazu f(y)(x-2)+f(y+2f(x))=f(x+y f(x)), x,y e R ekuazio funtzionala betetzen duten aldagai bakarreko f:R Æ R funtzio erreal guztiak."
Ikerketa-adar hau MTM2012-37894-C02-02 ikerketa-proiektuaren barnean dago.
1 Alegiazko izen hau erabili behar izan dugu politikarien ikuspegi zabalari esker gaur egun ez dagoelako ikerketa-talderik.
Erreferentziak
Idatzi zuk zeuk Gai librean atalean
Gai librean aritzeko, bidali zure artikulua aldizkaria@elhuyar.eus helbidera
Hauek dira Gai librean atalean Idazteko arauak
Zu idazle
Zientzia aldizkaria
